神经网络中常用的激活函数比较与应用

# 第一章：激活函数的基本概念

## 1.1 什么是激活函数
在神经网络中，激活函数是非线性函数，它决定了神经元的输出是否被激活。激活函数将输入信号转换为输出信号，常见的激活函数有Sigmoid、Tanh、ReLU等。

## 1.2 激活函数的作用和意义
激活函数能够给神经网络引入非线性因素，使得神经网络可以更好地拟合复杂的数据关系。激活函数的作用在于引入非线性，在一定程度上解决线性模型无法解决的问题。

## 1.3 激活函数的种类及特点
激活函数的种类有很多，每种激活函数都有其特点和适用范围。常见的激活函数包括Sigmoid函数、Tanh函数、ReLU函数等，它们各自有着不同的特点和优缺点。
### 第二章：常见的神经网络激活函数

神经网络中常用的激活函数有很多种，每种激活函数都有其特点和适用场景。接下来我们将逐一介绍常见的神经网络激活函数及其特点。

#### 2.1 Sigmoid函数

Sigmoid函数是神经网络中最早使用的一种激活函数。其数学表达式为：

\[
f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}
\]

Sigmoid函数的输出值介于 0 到 1 之间，可以将输入信号压缩到 0 到 1 的范围内。然而，Sigmoid函数存在梯度饱和和输出不以零中心的问题，导致在深层网络中容易出现梯度消失和模型收敛慢的情况。

#### 2.2 Tanh函数

Tanh函数是双曲正切函数，其数学表达式为：

\[
f(x) = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}
\]

Tanh函数将输入信号压缩到 -1 到 1 的范围内，解决了Sigmoid函数输出不以零中心的问题。然而，Tanh函数同样存在梯度饱和和梯度消失的问题，限制了其在深层网络中的应用。

#### 2.3 ReLU函数

ReLU函数是一种简单但非常有效的激活函数，其数学表达式为：

\[
f(x) = \max(0, x)
\]

ReLU函数在输入大于 0 时直接输出输入值，解决了梯度饱和和梯度消失的问题，加速了神经网络的训练。然而，ReLU函数在负数输入时输出为 0，可能导致神经元的"死亡"，并且不以零中心的特性可能带来优化困难。

#### 2.4 Leaky ReLU函数

Leaky ReLU函数是对ReLU函数的改进，其数学表达式为：

\[
f(x) = \begin{cases}
x, & \text{if } x > 0 \\
\alpha x, & \text{if } x \leq 0
\end{cases}
\]

其中 \( \alpha \) 是一个小的正数，通常取 0.01。Leaky ReLU函数在负数输入时不再直接输出 0，而是乘以一个小的斜率，从而避免了神经元"死亡"的问题。

#### 2.5 ELU函数

ELU函数是指数线性单元函数，其数学表达式为：

\[
f(x) = \begin{cases}
x, & \text{if } x > 0 \\
\alpha (e^{x} - 1), & \text{if } x \leq 0
\end{cases}
\]

其中 \( \alpha \) 是一个较大的常数，通常取 1。ELU函数在负数输入时不仅避免了"死亡