Doolittlte方法求解线性方程组

# 1. 简介

## 1.1 线性方程组的定义

线性方程组是由一系列线性方程组成的方程集合，其中每个方程的未知数项只有线性关系。

线性方程组的一般形式为：

a11 * x1 + a12 * x2 + ... + a1n * xn = b1
a21 * x1 + a22 * x2 + ... + a2n * xn = b2
am1 * x1 + am2 * x2 + ... + amn * xn = bm

其中，`a_ij`表示系数矩阵中的元素，`x_i`表示未知数，`b_i`表示常数项。

## 1.2 Doolittle方法的概述

Doolittle方法（也称为LU分解或Crout方法）是一种求解线性方程组的方法。它的基本思想是将系数矩阵A分解为两个矩阵L和U的乘积，即A=LU。

其中，L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。通过LU分解，原来的线性方程组可以转化为两个简单的三角方程组，进而求解得到未知数的值。

Doolittle方法的主要步骤包括构建矩阵LU、求解上三角矩阵U、求解下三角矩阵L和解线性方程组。它具有较好的数值稳定性和计算效率，因此在实际应用中得到广泛使用。

# 2. Doolittle方法的原理

Doolittle方法是一种用于解决线性方程组的数值方法，它基于LU分解的思想。在本章中，我们将介绍LU分解的基本概念，并推导出Doolittle方法的具体步骤。

### 2.1 LU分解的基本概念

LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。其中下三角矩阵L的对角线元素为1，上三角矩阵U的对角线元素与原矩阵相同。LU分解能够简化线性方程组的求解过程，并提高计算效率。

### 2.2 Doolittle方法的推导

Doolittle方法是一种使用LU分解求解线性方程组的方法。它通过对原矩阵进行LU分解，然后利用LU分解后的矩阵求解线性方程组。Doolittle方法的推导基于以下假设：

假设原矩阵为A，对应的LU分解为L和U。设A的第i行第j列的元素为a_ij，L的第i行第j列的元素为l_ij，U的第i行第j列的元素为u_ij。

根据LU分解的定义，可以得到以下等式：

a_ij = ∑(l_ik * u_kj) (k=1 to j-1) + l_ij * u_jj (j to n)
a_ij = ∑(l_ik * u_kj) (k=1 to i-1) + l_ii * u_ij (i to n)

根据以上等式，可以推导出L和U的计算公式，具体求解步骤将在下一章节详细介绍。

# 3. Doolittle方法的步骤
Doolittle方法是一种求解线性方程组的方法，利用LU分解将原方程组化为两个解较为简单的方程组。下面详细介绍Doolittle方法的步骤。

#### 3.1 构建矩阵LU
首先，我们将待求解的线性方程组表示成矩阵形式：Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是列