解决数组重叠区间合并问题

# 1. 数组重叠区间合并问题的概述

数组重叠区间合并问题是一个经典的算法问题，它要求将一组给定的重叠区间合并成最少的非重叠区间。这个问题在实际应用中很常见，例如在日程安排、资源分配和数据分析等领域。解决重叠区间合并问题需要使用特定的算法，这些算法可以将重叠区间有效地合并，同时保持其顺序和覆盖范围。

# 2. 解决重叠区间合并问题的理论基础

解决重叠区间合并问题需要建立在坚实的理论基础之上。本章节将介绍两个关键算法：区间排序算法和区间合并算法。

### 2.1 区间排序算法

区间排序算法用于将一个包含重叠区间的数组排序，为后续的区间合并算法做好准备。常用的区间排序算法包括冒泡排序和快速排序。

#### 2.1.1 冒泡排序

冒泡排序是一种简单的排序算法，通过不断比较相邻元素并交换位置，将数组中的元素排序。对于区间排序，冒泡排序的比较函数需要根据区间的起始点进行比较。

def bubble_sort_intervals(intervals):
    """
    冒泡排序区间数组

    Args:
        intervals (list): 区间数组，每个元素为一个元组(start, end)

    Returns:
        list: 排序后的区间数组
    """
    n = len(intervals)
    for i in range(n):
        for j in range(0, n - i - 1):
            if intervals[j][0] > intervals[j + 1][0]:
                intervals[j], intervals[j + 1] = intervals[j + 1], intervals[j]
    return intervals

**代码逻辑分析：**

* 外层循环 `for i in range(n)` 遍历数组的长度，控制排序的次数。
* 内层循环 `for j in range(0, n - i - 1)` 遍历未排序的区间。
* 如果当前区间 `intervals[j]` 的起始点大于下一个区间 `intervals[j + 1]` 的起始点，则交换两个区间的位置。

#### 2.1.2 快速排序

快速排序是一种高效的排序算法，通过递归地将数组划分为较小的子数组并排序，最终得到排序后的数组。对于区间排序，快速排序的划分函数需要根据区间的起始点进行划分。

def quick_sort_intervals(intervals):
    """
    快速排序区间数组

    Args:
        intervals (list): 区间数组，每个元素为一个元组(start, end)

    Returns:
        list: 排序后的区间数组
    """
    if len(intervals) <= 1:
        return intervals

    pivot = intervals[len(intervals) // 2]
    left = [interval for interval in intervals if interval[0] < pivot[0]]
    middle = [interval for interval in intervals if interval[0] == pivot[0]]
    right = [interval for interval in intervals if interval[0] > pivot[0]]

    return quick_sort_intervals(left) + middle + quick_sort_intervals(right)

**代码逻辑分析：**

* 如果数组长度小于等于 1，直接返回原数组。
* 选择数组中间位置的区间作为枢轴 `pivot`。
* 遍历数组，将区间分为三部分：起始点小于枢轴的 `left`、等于枢轴的 `middle` 和大于枢轴的 `right`。
* 递归地对 `left` 和 `right` 进行快速排序，并合并结果。

### 2.2 区间合并算法

区间合并算法用于将重叠的区间合并成一个新的区间。常用的区间合并算法包括贪心算法和分治算法。

#### 2.2.1 贪心算法

贪心算法是一种贪婪策略的算法，它在每次决策时都选择当前看起来最好的选项。对于区间合并，贪心算法的策略是：

* 将排序后的区间数组中的第一个区间作为合并后的区间。
* 遍历剩余的区间，如果当前区间与合并后的区间重叠，则更新合并后的区间的结束点。
* 如果当前区间不与合并后的区间重叠，则将当前区间添加到合并后的区间列表中。

def merge_intervals_greedy(intervals):
    """
    贪心算法合并区间

    Args:
        intervals (list): 区间数组，每个元素为一个元组(start, end)

    Returns:
        list: 合并后的区间数组
    """
    intervals.sort(key=lambda x: x[0])  # 先对区间排序

    merged_intervals = [intervals[0]]  # 初始化合并后的区间列表

    for interval in intervals[1:]:
        if interval[0] <= merged_intervals[-1][1]:  # 重叠
            merged_intervals[-1][1] = max(merged_intervals[-1][1], interval[1])
        else:  # 不重叠
            merged_intervals.append(interval)

    return merged_intervals

**代码逻辑分析：**

* 首先对区间数组按起始点排序。
* 初始化合并后的区间列表，将第一个区间加入列表。
* 遍历剩余的区间，如果当前区间与合并后的最后一个区间重叠，则更新合并后的区间的结束点。
* 如果当前区间不重叠，则将当前区间添加到合并后的区间列表中。

#### 2.2.2 分治算法

分治算法是一种将问题分解为较小问题的算法。对于区间合并，分治算法的策略是：

* 将区间数组划分为两个子数组。
* 递归地将子数组中的区间合并。
* 合并两个子数组中合并后的区间。

def merge_intervals_divide_and_conquer(intervals):
    """
    分治算法合并区间

    Args:
        intervals (list): 区间数组，每个元素为一个元组(start, end)

    Returns:
        list: 合并后的区间数组
    """
    if len(intervals) <= 1:
        return intervals

    mid = len(intervals) // 2
    left_merged_intervals = merge_intervals_divide_and_conq