树与图：C语言中的非线性数据结构

# 1. I. 引言

## A. 数据结构概述
数据结构是计算机科学中非常重要的概念，它是组织和存储数据的一种方式，能够使数据更高效地被访问和修改。在编程中，选择合适的数据结构对于提高算法的效率至关重要。

## B. 非线性数据结构介绍
与线性数据结构不同，非线性数据结构是指那些元素之间不是简单的一对一关系。树和图就是常见的非线性数据结构，它们在实际应用中具有重要意义。

## C. 目标与内容概述
本文将介绍在C语言中实现树与图这两种非线性数据结构，具体内容包括树的基本概念与特点、树的遍历算法、图的定义与基本术语、最短路径算法等。我们还将给出C语言实现树与图数据结构的详细代码，并给出实际应用案例，以及对未来发展趋势与挑战的展望。

# 2. II. 树(Tree)数据结构

树(Tree)是一种重要的非线性数据结构，具有许多应用场景。在本章中，我们将介绍树的基本概念、特点以及与之相关的算法和实现。

### A. 树的基本概念与特点

树是由n（n ≥ 0）个节点组成的有限集合。其中有一个称为根节点，其余节点可以分为m（m > 0）个互不相交的子集T1，T2， ......，Tm，其中每个子集本身又是一棵树。这种定义表明树具有层级结构，根节点到任意节点之间都存在唯一的路径。

树的特点包括无向树、有向树、二叉树等，不同类型的树适用于不同的场景。

### B. 二叉树(Binary Tree)及其表示

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。其中，每个子树有左右之分，次序不能颠倒。二叉树的表示方法有链式存储结构和顺序存储结构，分别适用于不同的操作。

### C. 二叉搜索树(Binary Search Tree)与其应用

二叉搜索树是一种特殊的二叉树，对于每个节点，其左子树上所有节点的值都小于它，右子树上所有节点的值都大于它。这种特性使得二叉搜索树可以在平均O(log n)的时间内进行查找、插入和删除操作。它在数据库索引、快速查找等方面有广泛应用。

### D. 平衡树(AVL Tree)介绍

平衡树是一种自平衡的二叉搜索树，其任意节点的左右子树高度差不超过1。通过旋转等操作，AVL树可以保持平衡，提高查找效率。在大量动态数据插入、删除场景下，AVL树表现优异。

### E. 树的遍历算法

树的遍历算法包括前序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。这些算法可以帮助我们按照特定顺序访问树中的所有节点，应用广泛且易于实现。

通过对树的学习和理解，我们可以更好地应用树结构解决实际问题，提高程序的效率和性能。

# 3. III. 图(Graph)数据结构

在计算机科学中，图是一种非线性数据结构，由节点（顶点）和边组成。图可以用于建模许多实际问题，如社交网络、网络拓扑等，因此图的数据结构及相关算法是计算机科学中非常重要的内容之一。

### A. 图的定义与基本术语

在图论中，图G被定义为一个有序的二元组G=(V, E)，其中V是一组顶点的集合，E是一组边的集合，每条边连接两个顶点。图可以是有向图（边有方向）或无向图（边无方向）。

- 顶点（Vertex）：图中的节点。
- 边（Edge）：节点间的连接关系。
- 度（Degree）：节点的边的数量。
- 路径（Path）：顶点的序列，满足相邻顶点间都有边相连。
- 环（Cycle）：起点和终点相同的路径。

### B. 图的表示方法

图可以有多种表示方法，两种常见的方法是邻接矩阵和邻接表。

#### 1. 邻接矩阵（Adjacency Matrix）

邻接矩阵是一个二维数组，用来表示顶点之间的连接关系。对于无向图，邻接矩阵是对称的；对于有向图，邻接矩阵不一定对称。在邻接矩阵中，如果存在一条边e连接顶点i和j，则矩阵中的第i行第j列和第j行第i列对应元素的值为1。

// C语言中的邻接矩阵表示示例
#define MAX_VERTEX_NUM 100
typedef struct {
    int edges[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
    int vertexNum, edgeNum;
} AdjMatrixGraph;

#### 2. 邻接表（Adjacency List）

邻接表是一种链表的集合，用来表示每个顶点的邻居顶点集合。对于每个顶点，保存与之相连的边的集合。邻接表更适合稀疏图的表示，节省空间。

// C语言中的邻接表表示示例
typedef struct ArcNode