MATLAB指数拟合灵敏度分析秘籍：探索输入参数影响，优化模型性能

# 1. 指数拟合基础**

指数拟合是一种非线性回归技术，用于拟合具有指数增长或衰减趋势的数据。其基本方程为：

y = a * exp(b * x)

其中：

* `y` 是因变量
* `x` 是自变量
* `a` 是截距
* `b` 是增长/衰减率

指数拟合在各种领域都有应用，例如人口增长、放射性衰变和经济预测。它提供了对数据趋势的准确描述，并允许对未来值进行预测。

# 2. 灵敏度分析理论

### 2.1 局部灵敏度分析

局部灵敏度分析衡量输入参数的微小变化对模型输出的局部影响。它假设输入参数在基准值附近变化很小，并且模型在该区域内是线性的。

**参数说明：**

- **输入参数 x：**模型的输入参数。
- **基准值 x0：**输入参数的基准值。
- **输出 y：**模型的输出。
- **灵敏度系数 S：**衡量输入参数变化对输出影响的系数。

**计算方法：**

局部灵敏度系数可以通过以下公式计算：

S = (∂y/∂x) | x=x0

其中，∂y/∂x 表示输出 y 对输入参数 x 的偏导数。

### 2.2 全局灵敏度分析

全局灵敏度分析评估输入参数在整个输入空间中对模型输出的影响。它不假设模型在任何特定区域内是线性的，并考虑输入参数之间的相互作用。

**参数说明：**

- **输入参数空间 X：**输入参数的可能取值范围。
- **输出 y：**模型的输出。
- **灵敏度指标：**衡量输入参数对输出影响的指标，例如方差分解或索博尔指数。

**计算方法：**

全局灵敏度分析可以通过以下方法计算：

- **蒙特卡罗方法：**随机抽取输入参数样本，并计算模型输出。
- **拉丁超立方体抽样：**一种分层抽样方法，确保输入参数空间中的所有区域都被充分覆盖。

# 3. MATLAB灵敏度分析实践

### 3.1 局部灵敏度分析

局部灵敏度分析评估输入参数对输出响应的局部影响。它计算在参数变化很小的情况下，输出响应的变化率。局部灵敏度分析有两种主要方法：数值微分法和有限差分法。

#### 3.1.1 数值微分法

数值微分法使用微分来计算灵敏度。它通过计算参数的微小变化引起的输出响应的变化来估计灵敏度。MATLAB中使用`gradient`函数执行数值微分。

% 定义输入参数和输出响应
x = [1, 2, 3];
y = exp(x(1)) + sin(x(2)) + log(x(3));

% 计算局部灵敏度
sensitivity = gradient(y, x);

在上面的代码中，`gradient`函数计算了`y`相对于`x`的梯度，其中每个元素表示输入参数的局部灵敏度。

#### 3.1.2 有限差分法

有限差分法是一种近似微分的数值方法。它通过计算在参数值上产生小扰动时输出响应的变化来估计灵敏度。MATLAB中使用`diff`函数执行有限差分。

% 定义输入参数和输出响应
x = [1, 2, 3];
y = exp(x(1)) + sin(x(2)) + log(x(3));

% 计算局部灵敏度
h = 0.001; % 扰动步长
sensitivity = (diff(y, h) ./ h)';

在上面的代码中，`diff`函数计算了`y`相对于`x`的有限差分，其中每个元素表示输入参数的局部灵敏度。

### 3.2 全局灵敏度分析

全局灵敏度分析评估输入参数对输出响应的整体影响。它考虑了参数在整个输入空间上的变化，而不是局部变化。全局灵敏度分析有两种主要方法：蒙特卡罗方法和拉丁超立方体抽样。

#### 3.2.1 蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法是一种基于随机抽样的全局灵敏度分析方法。它通过从输入空间中随机抽取样本并计算输出响应来估计灵敏度。MA