基变换与坐标变换：理解基变换在计算机图形学中的应用

# 1. 理解基变换和坐标变换的基础概念

## 1.1 什么是基？
在计算机图形学中，基指的是一组线性无关的向量，它们可以用来描述向量空间中的点或者物体。通常情况下，我们会使用标准正交基，比如二维平面中的基向量可以表示为(1,0)和(0,1)，三维空间中的基向量可以表示为(1,0,0)、(0,1,0)和(0,0,1)。

## 1.2 什么是基变换？
基变换是指将向量空间中的基进行变换的操作。通过基变换，我们可以改变坐标系的基向量，从而改变物体在空间中的表示方式。

## 1.3 什么是坐标变换？
坐标变换是指根据新的基向量，对空间中的点或者向量进行表示的变换。在坐标变换中，点的坐标值会根据新的基向量进行重新计算，从而得到在新坐标系下的坐标值。

## 1.4 基变换与坐标变换的关系与区别
基变换和坐标变换都是描述向量空间中点的表示方式的变换，但是它们的操作对象不同。基变换是针对基向量的变换，而坐标变换是针对空间中的点的表示方式进行的改变。基变换和坐标变换之间是相辅相成的关系，在实际应用中常常一起使用，以达到对空间中的物体进行合适描述的目的。

# 2. 矩阵表示基变换和坐标变换

在计算机图形学中，基变换和坐标变换常常通过矩阵来表示和计算。理解矩阵表示的基变换和坐标变换对于掌握图形学的核心概念至关重要。本节将深入探讨矩阵表示在基变换和坐标变换中的应用。

#### 2.1 矩阵乘法与基变换

基变换可以通过矩阵乘法来表示。假设有一个三维向量 $\textbf{v}=(v_x, v_y, v_z)$，对其进行基变换，可以使用一个 $3\times3$ 的矩阵 $\textbf{M}$ 来实现：

\textbf{v}' = \textbf{M} \cdot \textbf{v}

其中，$\textbf{v}'$ 是经过基变换后的向量。矩阵 $\textbf{M}$ 的每一列是原坐标系中的基向量在新坐标系中的坐标。

#### 2.2 矩阵乘法与坐标变换

类似地，对于一个点的坐标变换也可以使用矩阵乘法来表示。假设有一个三维点 $P=(x, y, z, 1)$，对其进行坐标变换，同样可以使用一个 $4\times4$ 的变换矩阵 $\textbf{T}$ 来实现：

P' = \textbf{T} \cdot P

其中，$P'$ 是经过坐标变换后的点坐标。

#### 2.3 矩阵表示在计算机图形学中的应用

在计算机图形学中，矩阵表示的基变换和坐标变换被广泛应用于实现图形的旋转、缩放、平移、投影等变换操作。基于矩阵表示，计算机图形学的算法和技术得以简洁高效地实现，为计算机图形学的发展提供了重要支持。

接下来，我们将通过实际的代码示例来演示矩阵表示在基变换和坐标变换中的具体应用。

# 3. 基变换在三维空间中的应用

在这一章中，我们将深入探讨基变换在三维空间中的具体应用。首先，我们将介绍三维坐标系与基向量的概念，然后以实际案例演示三维坐标变换，最后讨论三维空间中的旋转、缩放与平移变换。

#### 3.1 三维坐标系与基向量

在三维空间中，我们使用三个基向量来表示坐标系的方向。通常情况下，我们使用右手坐标系，其基向量通常表示为x轴（i）、y轴（j）和z轴（k）。这些基向量的变换可以通过矩阵表示和乘法来实现。

#### 3.2 三维坐标变换的实际案例演示

让我们通过一个实际案例来演示三维坐标变换。假设有一个三维模型，我们需要将其从一个坐标系转换到另一个坐标系，这涉及到基变换和坐标变换的相互作用。

# 代码示例
import numpy as np

# 定义原始坐标
original_point = np.array([1, 2, 3])

# 定义基变换矩阵
transformation_matrix = np.array([[1, 0, 0],
                                  [0, 1, 0],
                                  [0, 0, 1]])

# 进行坐标变换
transformed_point = np.dot(transformation_matrix, origi