浮点数转换的奥秘：精度、舍入和陷阱

# 1. 浮点数的本质**

浮点数是一种计算机中用来表示实数的数据类型。它使用科学计数法，将数字表示为底数和指数的乘积。浮点数的本质在于其有限的精度和范围，这意味着它无法精确地表示所有实数。

浮点数的精度由其尾数的位数决定。尾数越长，浮点数的精度越高。浮点数的范围由其指数的范围决定。指数范围越大，浮点数可以表示的数字范围就越大。

浮点数的表示方式遵循 IEEE 754 标准，该标准定义了浮点数的格式和舍入规则。IEEE 754 标准有多种格式，包括单精度、双精度和扩展精度，每种格式都有不同的精度和范围。

# 2. 浮点数转换的理论基础

### 2.1 浮点数的表示方式

#### 2.1.1 IEEE 754 标准

浮点数的表示方式是由 IEEE 754 标准定义的，该标准规定了浮点数的格式和精度。IEEE 754 标准定义了三种不同的浮点数格式：单精度、双精度和扩展精度。

单精度浮点数使用 32 位表示，双精度浮点数使用 64 位表示，扩展精度浮点数使用 80 位或更多位表示。

#### 2.1.2 浮点数的精度和范围

浮点数的精度由其尾数的位数决定。单精度浮点数的尾数有 23 位，双精度浮点数的尾数有 52 位，扩展精度浮点数的尾数有 64 位或更多位。

浮点数的范围由其阶码的位数决定。单精度浮点数的阶码有 8 位，双精度浮点数的阶码有 11 位，扩展精度浮点数的阶码有 15 位或更多位。

### 2.2 浮点数转换的算法

浮点数转换的算法有四舍五入、向上取整、向下取整和截断。

#### 2.2.1 四舍五入

四舍五入是浮点数转换最常用的算法。四舍五入算法将尾数的末尾位舍入到最接近的整数。如果末尾位是 5，则舍入到偶数。

def round_half_even(number):
    """四舍五入到最接近的偶数整数。

    Args:
        number: 要舍入的浮点数。

    Returns:
        舍入后的整数。
    """
    int_part, frac_part = math.modf(number)
    if frac_part == 0.5:
        int_part += 1 if int_part % 2 == 0 else 0
    return int(int_part)

#### 2.2.2 向上取整和向下取整

向上取整和向下取整算法将尾数的末尾位分别舍入到最接近的较大整数和较小整数。

def ceil(number):
    """向上取整到最接近的整数。

    Args:
        number: 要取整的浮点数。

    Returns:
        取整后的整数。
    """
    int_part, frac_part = math.modf(number)
    return int(int_part + 1) if frac_part > 0 else int_part


def floor(number):
    """向下取整到最接近的整数。

    Args:
        number: 要取整的浮点数。

    Returns:
        取整后的整数。
    """
    int_part, frac_part = math.modf(number)
    return int(int_part) if frac_part == 0 else int_part - 1

#### 2.2.3 截断

截断算法将尾数的末尾位舍弃。