mod函数在算法中的应用：快速幂与快速取余，加速计算难题

# 1. mod函数的数学基础

mod函数，又称取模函数，是一个数学运算，用于计算两个整数相除后的余数。其语法为：`a mod b`，其中`a`是被除数，`b`是除数，结果为`a`除以`b`后的余数。

mod函数的数学基础在于同余关系。两个整数`a`和`b`同余于模`m`，当且仅当`a - b`可以被`m`整除。换句话说，`a`和`b`除以`m`后的余数相等。

在计算机科学中，mod函数通常用于处理有限域中的数字，例如在密码学和计算机图形学中。它还广泛应用于算法优化，例如快速幂和快速取余算法。

# 2. mod函数在快速幂中的应用

### 2.1 快速幂算法原理

快速幂算法是一种高效计算大数求幂的方法，其核心思想是利用模运算的性质将指数分解成二进制形式，从而通过递归的方式逐步计算幂次。

设有正整数底数 `a` 和正整数指数 `n`，快速幂算法的原理如下：

1. 将指数 `n` 转换为二进制形式，记为 `n = b_k b_{k-1} ... b_1 b_0`。
2. 初始化结果 `res = 1`。
3. 从右到左依次遍历二进制位 `b_i`：
- 若 `b_i = 1`，则更新结果 `res = (res * a) % m`。
- 若 `b_i = 0`，则不更新结果。
4. 返回结果 `res`。

### 2.2 快速幂算法实现

快速幂算法的 Python 实现如下：

def fast_pow(a, n, m):
    """
    快速幂算法
    :param a: 底数
    :param n: 指数
    :param m: 模数
    :return: a^n % m
    """
    res = 1
    n_bin = bin(n)[2:]  # 将指数转换为二进制形式
    for b in n_bin:
        if b == '1':
            res = (res * a) % m
        a = (a * a) % m
    return res

### 2.3 快速幂算法复杂度分析

快速幂算法的时间复杂度为 O(logn)，其中 n 为指数。

**证明：**

快速幂算法的递归深度为指数 n 的二进制位数，即 log2n。在每次递归中，算法需要执行一次乘法和一次模运算，因此总时间复杂度为 O(logn)。

# 3. mod函数在快速取余中的应用

### 3.1 快速取余算法原理

快速取余算法是一种高效计算大整数取模结果的方法。其基本原理是将取模操作分解为一系列二进制位运算，从而显著降低计算复杂度。

具体来说，快速取余算法利用了以下性质：

- **二进制表示：**任何整数都可以表示为二进制形式，即由一系列 0 和 1 组成。
- **模运算的分配律：**对于任意整数 a、b 和模数 m，有 (a + b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m。
- **模运算的乘法律：**对于任意整数 a、b 和模数 m，有 (a * b) mod m = (a mo