线性时不变系统的传输函数表示

# 1. 简介

## 1.1 什么是线性时不变系统？

线性时不变系统（Linear Time-Invariant System，简称LTI系统）是信号与系统理论中的基本概念之一。它是指系统的输出与输入之间存在线性关系，并且系统的性质在时间上不随时间变化而改变。简而言之，LTI系统具有线性性质和时不变性。线性性质意味着系统对于输入信号的加权和具有叠加性，时不变性意味着系统对于输入信号的响应不随时间的推移而改变。

## 1.2 传输函数的定义和作用

传输函数是描述线性时不变系统的一种数学表示方式。它是输入信号和输出信号之间的关系函数，可以用于分析系统的频率响应、稳定性和动态特性等。传输函数通过频域分析来描述系统的行为，能够方便地分析系统对不同频率的输入信号的响应。

传输函数可以通过拉普拉斯变换或者傅里叶变换得到，具体取决于系统是连续时间系统还是离散时间系统。在连续时间系统中，传输函数用拉普拉斯变换表示；在离散时间系统中，传输函数用傅里叶变换表示。

传输函数的作用是对系统进行模型化和分析。通过传输函数，可以了解系统的频率响应特性，如增益、相位延迟等；可以评估系统的稳定性，判断系统是否会发散或震荡；还可以进行滤波器设计和控制系统设计等。因此，传输函数在信号与系统领域中具有重要的意义。

对于连续时间系统，传输函数可以用以下形式表示：

$$ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} $$

其中，$H(s)$表示传输函数，$Y(s)$表示输出信号的拉普拉斯变换，$X(s)$表示输入信号的拉普拉斯变换。通过传输函数，可以得到输出信号$Y(s)$与输入信号$X(s)$之间的关系。

对于离散时间系统，传输函数可以用以下形式表示：

$$ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} $$

其中，$H(z)$表示传输函数，$Y(z)$表示输出信号的傅里叶变换，$X(z)$表示输入信号的傅里叶变换。通过传输函数，可以得到输出信号$Y(z)$与输入信号$X(z)$之间的关系。

传输函数是理解和分析线性时不变系统的重要工具，为后续章节的内容奠定了基础。接下来，我们将介绍信号与系统的数学基础。

# 2. 信号与系统的数学基础

在信号与系统理论中，我们首先需要了解信号与系统的数学基础，这包括对于信号和系统的定义，以及它们在时域和频域中的表示和性质。

#### 2.1 连续时间信号与离散时间信号

在信号处理中，我们通常会遇到两种类型的信号：连续时间信号和离散时间信号。连续时间信号是在连续时间范围内定义的信号，通常用数学函数表示，例如正弦信号、余弦信号等。而离散时间信号则是在离散时间点上定义的信号，通常以序列的形式出现。这两种信号在信号处理和系统分析中有着不同的数学表达和处理方法。

#### 2.2 线性系统的定义和性质

线性系统是满足线性叠加和时不变性质的系统。线性叠加性质表示当输入信号为线性组合时，输出信号也是对应的线性组合；时不变性质表示系统的性质不随时间的变化而变化。线性系统在实际应用中具有重要意义，因为它们能够方便地进行数学分析和建模。

#### 2.3 时不变系统的概念及特性

时不变系统是指系统的性质不随时间的变化而变化。在时不变系统中，系统对于不同时间点输入的响应是相同的，这为系统的分析和设计提供了便利。时不变系统在信号处理和控制系统中广泛应用。

#### 2.4 系统的输入与输出

系统的输入信号是指输入到系统中的信号，而系统的输出信号是指系统对于输入信号的响应。在信号与系统理论中，我们关注的是系统对于不同输入信号的响应规律，以及如何描述和分析系统的输入输出关系。

# 3. 线性时不变系统的数学表示

在前面的章节中，我们已经了解了线性时不变系统的定义和性质，现在我们将介绍如何用数学方法来表示这样的系统。

#### 3.1 差分方程表示
差分方程是一种常用的用于描述离散时间系统的数学模型。在线性时不变系统中，差分方程可以表示为以下形式：

y[n] = a[0]x[n] + a[1]x[n-1] + ... + a[N]x[n-N] - b[1]y[n-1]