MATLAB实现小波变换：从理论到实践，掌握时频分析利器

# 1. 小波变换的理论基础**

小波变换是一种时频分析技术，它将信号分解为一系列不同尺度和频率的子波。与傅里叶变换不同，小波变换在时域和频域上都具有良好的局部化特性，这使其特别适用于分析非平稳信号。

小波变换的核心概念是尺度和平移。尺度控制着小波的宽度，而平移控制着小波在时域中的位置。通过改变尺度和平移，小波可以覆盖信号的不同时间和频率区域，从而实现对信号的时频分析。

小波变换的数学基础是连续小波变换（CWT），其定义如下：

CWT(x, a, b) = ∫x(-∞)∞ψa,b(t)dt

其中，x(t)是待分析信号，ψa,b(t)是小波母函数，a是尺度参数，b是平移参数。

# 2. MATLAB中的小波变换编程**

**2.1 小波函数和滤波器组**

**2.1.1 常见小波函数**

MATLAB中提供了多种小波函数，每种函数都有其独特的特性和应用场景。常见的小波函数包括：

* **Daubechies小波：**具有紧支撑和正交性，常用于信号去噪和图像压缩。
* **Symlets小波：**与Daubechies小波类似，但具有更平滑的波形。
* **Coiflets小波：**具有紧支撑和正交性，在处理尖锐信号时表现良好。
* **Biorthogonal小波：**具有不对称的滤波器组，常用于图像处理和特征提取。

**2.1.2 滤波器组的构造和性质**

小波变换通过滤波器组来实现。滤波器组由低通滤波器h和高通滤波器g组成。

* **低通滤波器h：**用于分解信号的低频分量。
* **高通滤波器g：**用于分解信号的高频分量。

滤波器组的性质决定了小波变换的特性，包括：

* **正交性：**h和g满足正交条件，使得小波变换可逆。
* **紧支撑：**h和g的长度有限，使得小波变换具有局部性。
* **尺度函数：**由h生成的尺度函数φ(t)表示小波变换的基函数。
* **小波函数：**由g生成的母小波函数ψ(t)表示小波变换的分析函数。

**2.2 小波变换的算法实现**

**2.2.1 离散小波变换**

离散小波变换（DWT）是将连续信号离散化为一系列小波系数的过程。DWT算法如下：

[cA, cD] = dwt(x, 'wname', 'db4');

* **x：**输入信号
* **wname：**小波函数名称（如'db4'表示Daubechies 4阶小波）
* **cA：**低频近似系数
* **cD：**高频细节系数

**2.2.2 连续小波变换**

连续小波变换（CWT）是将连续信号与一系列小波函数进行卷积的过程。CWT算法如下：

[cwt_matrix, frequencies] = cwt(x, 'wavelet', 'morlet');

* **x：**输入信号
* **wavelet：**小波函数名称