MATLAB小波分析实践攻略：从理论到实践，打造信号与图像处理利器

# 1. 小波分析基础**

小波分析是一种时频分析技术，它将信号或图像分解为一系列称为小波的小尺度基函数。这些小波具有局部化和振荡性，使它们能够有效地捕获信号和图像中的局部特征。

小波分析的关键概念是尺度和平移。尺度控制小波的宽度，而平移控制小波在时间或空间中的位置。通过改变尺度和平移，小波可以适应信号或图像的不同特征。

小波变换将信号或图像分解为小波系数。这些系数表示信号或图像在不同尺度和平移下的能量分布。小波系数可以用来分析信号或图像的频率和时间信息，并用于各种应用，如去噪、压缩和特征提取。

# 2. 小波变换算法

小波变换是将信号或图像分解为一系列小波系数的过程，这些系数表示信号或图像在不同尺度和位置上的局部特征。小波变换算法分为连续小波变换和离散小波变换。

### 2.1 连续小波变换

#### 2.1.1 小波基函数和尺度函数

小波基函数是一个短时、局部化的函数，它具有振荡性和衰减性。常用的基函数包括哈尔小波、Daubechies小波、Symlets小波等。尺度函数是一个平滑、非振荡的函数，它用于生成小波基函数。

#### 2.1.2 小波变换的数学原理

连续小波变换将信号或图像 `f(t)` 与一个尺度参数 `a` 和平移参数 `b` 相关的小波基函数 `\psi(t)` 进行卷积运算，得到小波系数 `W(a, b)`：

W(a, b) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \psi_{a, b}(t) dt

其中，小波基函数 `\psi_{a, b}(t)` 由尺度函数 `\phi(t)` 通过平移和尺度变换得到：

\psi_{a, b}(t) = \frac{1}{\sqrt{a}} \phi\left(\frac{t-b}{a}\right)

### 2.2 离散小波变换

#### 2.2.1 采样定理和离散化

由于实际信号和图像是离散的，因此需要对连续小波变换进行离散化。采样定理规定，为了避免混叠，采样频率必须至少是信号最高频率的两倍。离散化后的小波基函数和尺度函数如下：

\psi_{j, k}(t) = \frac{1}{\sqrt{2^j}} \phi\left(2^{-j}t - k\right)

其中，`j` 表示尺度，`k` 表示平移。

#### 2.2.2 离散小波变换的算法流程

离散小波变换的算法流程如下：

1. 对信号或图像进行采样和离散化。
2. 选择一个合适的小波基函数。
3. 根据离散化的小波基函数，计算小波系数。
4. 对小波系数进行处理，例如阈值去噪、熵编码等。
5. 重构信号或图像。

# 3. 小波分析在信号处理中的应用

### 3.1 信号去噪

**3.1.1 小波阈值去噪原理**

小波阈值去噪是一种非线性去噪方法，利用小波变换的稀疏性，将信号分解到小波域，对小波系数进行阈值处理，然后重构信号。

阈值处理的思想是：保留小波系数中显著的信号分量，去除噪声分量。阈值选择至关重要，过高会导致信号失真，过低则不能有效去除噪声。

**3.1.2 不同阈值函数的选择**

常用的阈值函数包括硬阈值、软阈值、半软阈值等。

* **硬阈值：**将绝对值小于阈值的系数置为0，大于阈值的系数保持不变。
* **软阈值：**将绝对值小于阈值的系数置为0，大于阈值的系数减去阈值。
* **半软阈值：**介于硬阈值和软阈值之间，将绝对值小于阈值的系数置为0，大于阈值的系数乘以一个因子。

不同阈值函数对去噪效果有不同的影响。硬阈值去噪效果较好，但可能会产生伪吉布斯现象。软阈值去噪效果较平滑，但可能会保留一些噪声。半软阈值综合了硬阈值和软阈值的优点，是一种常用的阈值函数。

### 3.2 信号压缩

**3.2.1 小波变换的稀疏性**

小波变换具有稀疏性的特点，即信号在小波域中只有少数显著系数。这种稀疏性使得信号压缩成为可能。

**3.2.2 熵编码和哈夫曼编码**

熵编码和哈夫曼编码是两种无损压缩算法，可以进一步压缩小波系数。

* **熵编码：**根据小波系数的概率分布，将每个系数编码为可变长度的二进制码。
* **哈夫曼编码：**根据小波系数的出现频率，为每个系数分配不同的编码长度，出现频率高的系数编码长度较短。

通过熵编码和哈夫曼编码，可以进一步提高信号压缩率，同时保证信号的无损还原。

**代码块：**

% 信号去噪
[denoised_signal, threshold] = wdenoise(signal, 'rigrsure', 'sln', 5, 'db4');

% 信号压缩
[compressed_signal, ratio] = wavedec(signal, 5, 'db4');
compressed_signal = entropyenc(compressed_signal);
compressed_signal = huffmandict(compressed_signal);

**逻辑分析：**

* `