空间复杂度优化：二分查找的迭代实现

# 1. 二分查找算法简介

在本章节中，我们将介绍二分查找算法的基本概念和原理，帮助读者对该算法有一个清晰的认识。

## 1.1 什么是二分查找算法
二分查找，也称为折半查找，是一种非常高效的搜索算法。它通过将目标值与数组中间元素进行比较，从而将查找范围缩小一半，不断重复这个过程直到找到目标值或者确定目标值不存在。这种分治思想使得二分查找的时间复杂度为 O(log n)，在有序数组中表现优异。

## 1.2 二分查找算法的原理
二分查找算法的原理可以总结为以下几个步骤：
1. 初始化左边界 `left` 为数组第一个元素索引，右边界 `right` 为数组最后一个元素索引。
2. 当 `left <= right` 时，计算中间元素索引 `mid`。
3. 比较中间元素与目标值的关系，若相等则返回；若大于目标值，则将 `right` 更新为 `mid - 1`；若小于目标值，则将 `left` 更新为 `mid + 1`。
4. 重复第2步直到找到目标值或者确定目标值不存在。

通过这些步骤，二分查找算法能够高效地在有序数组中查找目标值，提高查找效率，是一种经典的算法思想。

# 2. 传统二分查找的空间复杂度分析

### 2.1 传统二分查找的算法分析
传统的二分查找算法是一种高效的查找算法，其基本思想是通过不断缩小查找范围来定位目标值。具体的算法步骤如下：

1. 初始化左指针 `left` 和右指针 `right`，分别指向数组的起始位置和结束位置。
2. 在每一轮循环中，计算中间位置 `mid`，并比较中间位置的值与目标值的大小关系。
3. 如果中间位置的值等于目标值，则返回结果；如果中间位置的值大于目标值，则将右指针移动到 `mid - 1` 的位置；如果中间位置的值小于目标值，则将左指针移动到 `mid + 1` 的位置。
4. 循环直到左指针超过右指针，表明未找到目标值，返回 -1。

### 2.2 传统二分查找的空间复杂度计算
传统二分查找算法的空间复杂度主要取决于指针的个数，即需要占用的额外空间。在最坏情况下，二分查找需要维护左右指针和中间指针，因此其空间复杂度为 O(1)。以下是传统二分查找算法的空间复杂度分析表格：

| 空间复杂度 | 说明 |
|-----------|---------------|
| O(1) | 占用常数额外空间 |

综上所述，传统二分查找算法的空间复杂度为 O(1)，不随输入规模变化而改变。接下来将介绍如何通过迭代实现来优化空间复杂度。

# 3. 二分查找的迭代实现原理

### 3.1 迭代实现的基本思路
在二分查找算法中，迭代实现的基本思路是通过维护两个指针来逐步缩小查找范围，直至找到目标值。具体步骤如下：
1. 初始化左指针`left`为0，右指针`right`为数组长度减1；
2. 在每一轮迭代中，计算中间位置`mid`，并比较目标值与`mid`位置的元素；
3. 如果目标值等于`mid`位置的元素，则直接返回`mid`；
4. 如果目标值小于`mid`位置的元素，则更新右指针`right=mid-1`；
5. 如果目标值大于`mid`位置的元素，则更新左指针`left=mid+1`；
6. 若左指针小于等于右指针，则继续迭代，直至找到目标值或左指针大于右指针。

### 3.2 迭代实现的代码结构解析
下面是二分查找的迭代实现代码结构示例（Python）：

def binary_search_iterative(arr, target):
    left, right = 0, len(arr) - 1

    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2

        if arr[mid] == target:
            return mid
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1

    return -1

在上述代码中，`binary_search_iterative`函数通过迭代方式实现了二分查找算法。不断更新左右指针的位置，直至找到目标值或确定不存在。

### 3.3 二分查找的迭代实现示意流程图
下面是二分查找的迭代实现示意流程图，展示了不断缩小搜索范围的过程：

graph TD
    A(开始) --> B{left <= right?}
    B --> |