反余切函数复合函数奥秘探索：函数组合的奇妙世界，让你理解函数的复杂性

# 1. 反余切函数的奥秘**

反余切函数（arctan）是三角函数中的一种，用于求取给定正切值对应的角度。其定义为：

arctan(x) = y，当且仅当 tan(y) = x

反余切函数的图像是一条经过原点的单调递增曲线，其值域为 (-π/2, π/2)。反余切函数的导数为：

d/dx arctan(x) = 1 / (1 + x^2)

这表明反余切函数的斜率随着 x 的增大而减小，这意味着该函数的增长速度随着 x 的增大而减慢。

# 2. 复合函数的理论基础

### 2.1 函数组合的定义和性质

**定义：**

复合函数，也称为函数的组合，是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，形成一个新的函数。

**符号表示：**

如果 f(x) 和 g(x) 是两个函数，则它们的复合函数记为：

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

其中：

* (f ∘ g)(x) 表示复合函数
* f(x) 是外函数
* g(x) 是内函数

**性质：**

* **结合律：**如果 f(x)、g(x) 和 h(x) 是三个函数，则：

(f ∘ (g ∘ h))(x) = (f ∘ g) ∘ h(x)

* **交换律：**一般情况下，复合函数不满足交换律，即：

(f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x)

* **恒等函数：**恒等函数 I(x) = x 对于任何函数 f(x) 都是复合函数的单位元，即：

(f ∘ I)(x) = f(x)
(I ∘ f)(x) = f(x)

### 2.2 复合函数的求导和积分

**求导：**

复合函数的导数可以通过链式法则计算，其公式为：

(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

其中：

* (f ∘ g)'(x) 表示复合函数的导数
* f'(x) 表示外函数的导数
* g'(x) 表示内函数的导数

**积分：**

复合函数的积分可以通过换元积分法计算。设 u = g(x)，则：

∫(f ∘ g)(x) dx = ∫f(u) du

其中：

* u = g(x) 是换元后的变量
* du = g'(x) dx 是微分代换

**代码块：**

def f(x):
    return x**2

def g(x):
    return x + 1

# 复合函数 (f ∘ g)(x)
def composite_function(x):
    return f(g(x))

# 求复合函数的导数
composite_derivative = composite_function(