【从零开始构建卡方检验】：算法原理与手动实现的详细步骤

# 1. 卡方检验的统计学基础

在统计学中，卡方检验是用于评估两个分类变量之间是否存在独立性的一种常用方法。它是统计推断的核心技术之一，通过观察值与理论值之间的偏差程度来检验假设的真实性。本章节将介绍卡方检验的基本概念，为理解后续的算法原理和实践应用打下坚实的基础。我们将从卡方检验的定义出发，逐步深入理解其统计学原理和在数据分析中的作用。通过本章学习，读者将能够把握卡方检验在统计学中的重要性，以及它如何帮助我们从数据中提取有价值的信息。

# 2. 卡方检验的算法原理

### 2.1 卡方分布的数学基础

卡方检验作为统计学中重要的非参数检验方法之一，其背后依托于卡方分布的数学原理。为了深入理解卡方检验，我们需要先掌握卡方分布的定义和性质，以及其与自由度的关系。

#### 2.1.1 卡方分布的定义和性质

卡方分布是一种连续概率分布，由Karl Pearson首次定义，用于描述多个独立正态随机变量的平方和的分布情况。卡方分布具有以下主要性质：

- **非负性**：卡方分布的值域为非负实数，即x ≥ 0。
- **自由度**：卡方分布的形状由一个参数决定，即自由度（degrees of freedom，df）。自由度通常由独立随机变量的数量减去1得到。
- **偏态性**：随着自由度的增加，卡方分布的形状逐渐由高度偏斜向对称过渡。

我们可以使用Python的SciPy库来生成不同自由度的卡方分布图，以便更直观地理解其形状变化：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import chi2

# 自由度从1到4的卡方分布
dfs = [1, 2, 3, 4]
x = np.linspace(0, 15, 100)

# 绘制卡方分布图形
plt.figure(figsize=(10, 6))
for df in dfs:
    plt.plot(x, chi2.pdf(x, df), label=f'df={df}')

plt.title('Chi-Squared Distribution for Different Degrees of Freedom')
plt.xlabel('Value')
plt.ylabel('Probability')
plt.legend()
plt.show()

通过上述代码，我们能够清楚地看到卡方分布随自由度增加其形状的变化。

#### 2.1.2 卡方分布与自由度的关系

卡方分布的形状取决于自由度的值。自由度较小的卡方分布在左侧长尾部分，随着自由度增加，其分布形状变得越来越接近正态分布。这种关系对卡方检验的假设检验过程至关重要，因为特定自由度下的卡方分布决定了检验的临界值和P值。

### 2.2 卡方检验的假设条件

在应用卡方检验前，了解其适用的假设条件是必要的。卡方检验主要应用于检验两个分类变量之间的独立性以及观察频数与理论频数的一致性。

#### 2.2.1 独立性检验的适用场景

独立性检验（也称为拟合优度检验）主要用于检验两个分类变量是否相互独立。一个经典的场景是调查性别与对某产品的偏好是否有关联。在进行独立性检验时，观察频数和期望频数的计算及比较是关键步骤。

#### 2.2.2 合适性的检验条件

合适性检验（也称拟合优度检验）适用于检验观察数据与某一特定分布的吻合程度。例如，可以检验一个硬币是否是公平的，即每次抛掷出现正面的概率是否为0.5。合适性检验要求样本容量足够大，以便检验结果的可靠性和有效性。

### 2.3 卡方检验的统计决策过程

卡方检验的统计决策过程主要基于实际观测值与理论期望值之间的差异。检验统计量的计算和对显著性水平的判定是核心步骤。

#### 2.3.1 统计量的计算方法

卡方统计量的计算方法基于观察频数和期望频数的差异。对于r×c的列联表，卡方统计量的计算公式如下：

\[ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} \]

其中，\( O_i \) 和 \( E_i \) 分别代表第i个单元格的观察频数和期望频数。

#### 2.3.2 概率值（P值）与显著性水平的判定

卡方检验的统计决策基于计算出的卡方统计量值和相应的概率值（P值）。P值是在原假设为真的条件下，观察到当前或更极端情况的概率。如果P值小于显著性水平（通常为0.05），则拒绝原假设，认为两个变量之间存在显著性差异。

在本节中，我们介绍了卡方检验的数学原理、假设条件以及统计决策过程。这些理论基础是实际应用卡方检验的前提，为后续的实践环节奠定了坚实的基础。在下一章中，我们将探讨手动实现卡方检验的详细步骤，以及如何使用Python进行这一过程，从而在实际问题中应用卡方检验。

# 3. 手动实现卡方检验的详细步骤

## 3.1 构建观察频数表

### 3.1.1 数据的收集和整理

在手动实现卡方检验之前，首先需要收集和整理数据。数据收集通常涉及到研究设计，明确研究问题和假设，然后采用合适的抽样和测量方法来获取数据。收集到的数据可以是名义数据（Nominal Data），即没有自然排序的数据，也可以是分类数据（Ordinal Data），即有序但间隔不一的数据。

数据整理需要按照卡方检验的要求进行分组。比如，如果是独立性检验，就需要根据两个分类变量的不同组合创建一个交叉表（Contingency Table），将每个分类变量的类目作为行和列，然后记录每一类目组合中的频数。在整理数据时，应保证数据是完整的、没有遗漏，并且格式要统一。

### 3.1.2 频数表的制作方法

构建观察频数表（或称为列联表）是卡方检验的第一步。以下是一个简单的例子，假设我们想检验某地区居民对于两种交通方式（公交车和地铁）的偏好是否与其收入水平有关。

首先，我们需要将居民按收入水平分组（低、中、高），然后将交通方式作为另一维度，得到如下频数表结构：

| | 低收入 | 中收入 | 高收入 | 总计 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 公交车 | 15 | 25 | 10 | 50 |
| 地铁 | 10 | 30 | 20 | 60 |
| 总计 | 25 | 55 | 30 | 110 |

在这个例子中，我们可以看到不同收入水平的居民对于交通方式的选择频数。数据整理完成后，就可以进行后续的计算步骤了。

## 3.2 计算期望频数

### 3.2.1 期望频数的计算公式

期望频数是假设零假设（即两个变量相互独立）成立的情况下，我们预期在每个类目组合中观察到的频数。其计算公式为：

\[ E_{ij} = \frac{(行总和_i) \times (列总和_j)}{总样本数} \]

其中，\( E_{ij} \) 是第 \( i \) 行第 \( j \) 列的期望频数，\( 行总和_i \) 是第 \( i