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首页稳定性与延时下线性系统扰动分析
本文探讨了常规线性系统的扰动问题,主要关注两种类型的系统稳定性分析。首先,研究者证明了当原系统(A, B, C)和带有扰动项P的系统(A + P, B, C)都具有常规性时,其扰动后的系统(A + P, B, C)同样保持为常规线性系统。这个结果对于理解系统在扰动下的行为至关重要,因为它表明即使存在外部干扰,只要基础系统是稳定的,稳定性特性不会被破坏。 其次,论文进一步考虑了带有状态延迟和输出延迟的线性系统。具体来说,当原始系统(A, B, C)和(A, ΔA, C)都是常规的,并且扰动矩阵满足一定的条件时,扰动后系统((A-1 + ΔA)|X, B, CAΛ)也能够保持为常规线性系统。这为处理延迟系统的控制理论提供了新的工具,特别是通过变分常数公式来分析(A + P, B)这类控制系统的动态行为。 此外,文章还讨论了这些结果在处理延时系统中的应用。通过推导出关于系统正规性和轻微表达性的结论,作者给出了稳定延迟系统的一个充分必要条件。根据2010年的数学学科分类,该研究主要属于控制理论的47A55类别,同时与93C23(系统稳定性与控制)有关。 这篇论文不仅深化了对常规线性系统扰动的理解,还拓展了对带有状态和输出延迟系统的稳定性和控制理论的研究,为工程师和研究人员在实际设计和分析控制系统时提供了有价值的理论支持。
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Vol. 68 (2010) Perturbations of Regular Systems and Delay systems 361
for any u, v ∈ L
p
loc
(R
+
,U)andτ ≥ 0. By the representation theorem in [27],
there exists a unique operator C ∈ L(X
1
,Y), called admissible observation
operator for A, such that for any t ≥ 0andx ∈ D(A), CT(t)x =(Ψ
∞
x)(t). In
this case, we say that (A, C) generates an abstract linear observation system
on (X, Y ) and denote Ψ = Ψ
A,C
for brief.
We say that the well-posed linear system Σ is regular if the limit
lim
t→0
1
t
t
0
(F
∞
u
0
)(s)ds = Dz (2.5)
exists in Y for the constant input u
0
(t)=z, z ∈ U, t ≥ 0. In this case, we also
say that the quadruple Σ = (T,Φ, Ψ,F) is a regular linear system on (X, U, Y )
generated by (A, B, C, D), and we denote Σ
A,B,C,D
=ΣandF
A,B,C
= F .
Furthermore, we denote (A, B, C)=(A, B, C, 0) and Σ
A,B,C
=Σ
A,B,C,0
for
brief.
In order to introduce the representation theorem of regular linear sys-
tem, Weiss [30] introduced an extension of C, called Λ-extension with respect
to A, which is defined by
C
Λ
x = lim
λ→∞
CλR(λ, A)x (2.6)
with the domain D(C
Λ
)={x ∈ X : this above limit exists in Y }. It follows
from [27, Theorem 4.5 and Proposition 4.7] that for any x ∈ X, y(t)=
C
Λ
T (t)x a.e. in t ≥ 0 whenever C is admissible for A.
With the above Λ-extension, for well-posed linear system Σ
A,B,C
,the
regularity condition (2.5) is equivalent to each of the following two conditions:
• Range(R(λ, A
−1
)B) ⊂ D(C
A
Λ
) holds for some (and hence for all) λ ∈
ρ(A).
• For any u ∈ U, G(λ)u has a limits when λ →∞, where G is the transfer
function associated to F (∞).
In this case, the transfer function G is given explicitly by
G(λ)=C
A
Λ
R(λ, A
−1
)B + D, Re(λ) >w
0
(T ), (2.7)
where w
0
(T ) is the growth bound of the semigroup T , and we denote
G
A,B,C
= G.
In order to state the following theorem, we define
D
p
(M)
={f (·)∈L
p
loc
(R
+
,X):f ∈D(M) for a.e. t ≥0,and Mf(·)∈ L
p
loc
(R
+
,X)}.
Theorem 2.2. [28] Let Σ be a regular linear system with generating operator
A, B, C and D on (X, U, Y ). Then, for given (x
0
,u) ∈ X × L
p
(R
+
,U), the
state trajectory x(·) of Σ, given by x(t):=T (t)x
0
+Φ
A,B
u, t ≥ 0,isa.e.
differential in X
−1
and
˙x(t)=A
−1
x(t)+Bu(t),x(0) = x
0
for a.e. t ≥ 0. (2.8)
Furthermore, x(t) ∈ D(C
A
Λ
) for a.e. t ≥ 0 and the output function y =
Ψ
A,C
(∞)x + F
A,B,C,D
(∞)u of Σ is given by
y(t)=C
A
Λ
x(t)+Du(t) f or a.e. t ≥ 0. (2.9)
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