"通信网理论基础(修订版)习题解答"
通信网理论是研究通信系统组织、设计和分析的重要学科,它涉及到网络的性能评估、流量控制、资源分配等多个方面。在研究生课程中,深入理解并能解决通信网理论中的习题是提升专业能力的关键。本资料提供的是对通信网理论基础(修订版)教材习题的解答,旨在帮助学生巩固理论知识,提升实际应用能力。
题目2.2讨论的是M/M/m/n系统中等待时间(w)的概率密度函数。M/M/m/n系统是一种排队论模型,其中M表示服务时间服从指数分布(即服务时间是内存阻塞的),第二个M也代表到达时间同样服从指数分布,m代表服务台数量,n则表示系统的容量限制,即最多可以有n个顾客在系统内等待服务。在这种模型中,ρ(ρ = λ/μ)是系统利用率,λ是平均到达率,μ是平均服务率。
首先,我们需要知道M/M/m/n系统中等待时间的概率分布。对于等待时间w,其概率分布可以通过计算P{w > x},即等待时间大于x的概率来得到。当n > m时,且n ≥ 0,我们可以推导出等待时间大于x的概率P_j{w > x},其中j表示系统中已有顾客的数量。
接着,通过累积概率分布函数,我们可以求解概率密度函数。对于等待时间w,其概率密度函数f_w(w)是P{w > x}关于x的导数。在给定的解法中,利用了指数分布的性质和泊松过程的特性,通过求和与积分相结合的方法,逐步计算出P{w > x}的概率,并进一步求得f_w(w)。
具体公式如下:
P_j{w > x} = ∑_{i=j}^{n} P_i{x/w > m},其中P_i{x/w > m}可以通过指数分布的生存函数计算得到。
进一步,我们可以通过链式法则和概率密度函数的定义求解f_w(w),得到:
f_w(w) = d/dx [P{w > x}]。
最终,我们得到了等待时间w的概率密度函数表达式,该表达式包含了系统参数λ、μ、n、m和利用率ρ,以及时间变量x。
此外,资料还提到了新到顾客需等待的概率P_W,即顾客到达时系统已满的概率,可以用ρ乘以P_m(ρ)来表示,其中P_m(ρ)是M/M/1系统中顾客需等待的概率,其值可通过特定的解析表达式计算得出。
总结来说,这个习题解答涵盖了通信网理论中的排队论知识,特别是M/M/m/n系统的性能分析,包括等待时间的概率分布和概率密度函数的求解,以及系统满载情况下的概率计算,这些都是通信网络性能评估和优化的重要工具。通过这样的习题解答,学生能够深入理解通信网络中服务质量和效率的量化方法,从而更好地设计和管理实际的通信系统。