组合游戏拓展与变形：SG函数与Every-SG游戏解析

"这篇文章是贾志豪撰写的一篇关于组合游戏的文章，主要探讨了SG游戏的概念、性质及其拓展变形。SG游戏是一种抽象的有向无环图游戏，其中的SG函数是关键概念，用于判断游戏的局面是P-position还是N-position。文章还提到了Anti-SG游戏、Multi-SG游戏以及Every-SG游戏等变体，并对Every-SG游戏的贪心策略和解决方法进行了详细阐述。" 在《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》一文中，作者贾志豪深入剖析了SG游戏的核心机制和相关理论。SG游戏是一个重要的组合游戏模型，它基于有向无环图（DAG），每个局面对应图中的一个顶点，而局面的转换关系则由边来表示。SG函数是定义在这种图上的，其计算方式是对于每个顶点x，其SG值sg(x)等于在所有后继顶点y的SG值集合中未出现的最小非负整数，即sg(x)=mex{ sg(y) | y是x的后继 }。 SG函数拥有若干重要性质：没有出边的顶点（即没有后续局面的状态）其SG值为0；当sg(x)=0时，顶点x代表的局面是P-position，反之为N-position。这种性质使得SG函数成为判断游戏胜负的关键工具。 文章进一步介绍了SG游戏的扩展形式，如Anti-SG游戏，获胜条件改为最后移动的一方输；Multi-SG游戏允许将石子分成多堆；以及Every-SG游戏，要求每个可移动的棋子在每一轮都必须移动。特别是Every-SG游戏，玩家需要在每轮对所有尚未结束的单一游戏中进行操作，直至无路可走的一方失败。为了解决Every-SG游戏，文章提出了贪心策略，分析了如何通过了解SG值和步数（step）来决定最优策略。 每种游戏的变体都引入了新的挑战和策略，例如在Every-SG游戏中，先手必胜的条件取决于具有最大step值的单一游戏是否为先手必胜局面。文章还提出了一个有趣的思考问题，当step值最大时，是否存在先手既可能赢也可能输的情况，暗示可能存在平局。 贾志豪的文章不仅揭示了SG游戏的基本原理，还探讨了其在不同游戏场景下的应用，为理解组合游戏的复杂性提供了宝贵的理论框架和思考方向。