数值分析复习关键点：误差限、插值与积分计算

"这是一份广州大学数值分析课程的期末复习资料，包含了2009-2010第二学期《工程数学》测试试题及参考答案，内容涵盖数值分析中的误差分析、插值多项式、积分近似计算等多个重要知识点。" 在数值分析中，误差分析是一项基础且重要的概念。描述中提到的"绝对误差限"和"相对误差限"是指在计算过程中对结果精度的要求。绝对误差限是近似值与真实值之间的差值的绝对大小，而相对误差限则是这个差值与真实值的比例。例如，题目中要求"的相对误差不超过0.1%"，这意味着近似值与真实值的比例误差不能超过0.1%。 插值是数值分析中的一种技术，用于找到一个多项式函数，使得这个函数在给定的离散数据点上精确匹配这些点的值。在本资料中提到了三次插值多项式，指的是阶数为3的插值多项式，可以用来拟合一组四个数据点。构建这样的插值多项式，需要用到拉格朗日插值公式或牛顿插值公式。 积分是微积分的核心概念之一，资料中涉及了使用不同的方法进行积分近似，如梯形法则、辛普森法则和最小二乘法。例如，"复合梯形公式"和"复合辛普森公式"是求解定积分的数值方法，通过将连续区间分成多个小的子区间，然后对每个子区间使用梯形或辛普森规则进行近似，最后将结果相加得到整体的近似值。在实际应用中，需要选择合适的节点数量以确保近似精度，同时考虑计算效率。 最小二乘法是另一种重要方法，常用于拟合数据点，寻找最佳的线性组合。资料中提到的"形如cx + bx + a"的经验公式，就是要通过最小二乘法来确定参数c、b和a，使得公式拟合给定的函数值表，达到最高的代数精度。 此外，资料还涉及到求积公式的代数精度问题，即公式所能精确积分的最高阶导数。比如，"Cf + Bf + Af dx ≈ ∫f(x) dx"这样的公式，需要确定C、B和A的值，使其能够尽可能精确地计算积分，同时也涉及到节点的选择以保证计算的近似值具有足够的有效数字。 这份复习资料详细覆盖了数值分析的关键概念，包括误差分析、插值、积分近似和最小二乘法，对于准备数值分析期末考试的学生来说是非常有价值的参考资料。