公钥密码体制与素数因子分解

"每个合数都可以唯一地分解出素数因子-公钥密码ppt" 公钥密码体制是一种基于数学难题的加密技术，其中涉及到的主要概念包括素数、模运算、费尔玛定理、欧拉定理、素性检验、欧几里得算法、中国剩余定理、离散对数和平方剩余。这一技术最早由Diffie和Hellman在1976年的论文中提出，而RSA公钥算法则由Rivest、Shamir和Adleman在1978年提出。 1. 素数：素数是只能被1和它本身整除的正整数，例如2、3、5、7等。每个合数（非素数）都可以唯一地分解成若干个素数的乘积，这是整数的唯一分解定理。例如，6=2×3，27641=131×121。 2. 模运算：模n运算是一种将整数除以n后取余的操作，它在密码学中至关重要。如果a除以n的余数为r，我们写a=r mod n。模运算具有加法和乘法的封闭性，可以形成模n的加法群和乘法群。 3. 费尔玛定理和欧拉定理：费尔玛定理指出，如果p是素数，且a与p互素，那么a^(p-1) ≡ 1 mod p。欧拉定理是费尔玛定理的推广，它指出，如果a和n互素，那么a^φ(n) ≡ 1 mod n，其中φ(n)是欧拉函数，表示小于等于n且与n互素的正整数的个数。 4. 素性检验：为了确定一个大整数是否为素数，通常会采用快速的素性测试，如米勒-拉宾素性测试或AKS素性测试。这些测试能够在相对短的时间内确定一个数是否极有可能为素数。 5. 欧几里得算法：用于计算两个正整数的最大公约数（GCD）。在密码学中，计算GCD可以帮助确定两个数是否互素，这对于公钥密码体制中的某些操作至关重要。 6. 中国剩余定理：在模运算的背景下，中国剩余定理解决了同时满足一系列同余方程的问题，这对于公钥密码体制中的解密过程非常重要。 7. 离散对数：在模运算的群结构中，离散对数问题是指找到指数x，使得a^x ≡ b mod p，当a、b和p已知时。这个问题在某些公钥密码体制中作为安全基础。 8. 平方剩余：一个整数a是模n的平方剩余，如果存在某个整数x使得x^2 ≡ a mod n。平方剩余在构造某些密码系统，如椭圆曲线密码学中起到关键作用。 公钥密码体制如RSA，就是基于这些数论概念，尤其是大数分解难题（即找到合数的素数因子）的困难性来实现的。在RSA中，加密和解密使用了不同的密钥，一个公开，一个私有，确保了通信的安全性。当信息通过网络传输时，使用公钥加密，只有拥有对应私钥的人才能解密，从而防止中间人攻击。