根轨迹分析法：求解分离点坐标与系统性能

本文主要讨论了根轨迹分析法在控制系统设计中的应用，特别是如何通过根轨迹法确定闭环系统特征根的变化，以及这对系统性能的影响。根轨迹是随着系统参数变化，闭环系统特征根（闭环极点）在复平面上的轨迹。这种分析方法由W.R.Evans在1948年提出，它简化了高阶系统特征方程求解的复杂性。 在根轨迹分析中，有两大核心问题：一是如何根据期望的系统性能配置闭环极点，二是当系统参数如开环增益变化时，特征根如何变化及对系统性能的影响。闭环极点的位置直接影响控制系统的稳定性及瞬态响应特性。 以一个简单的例子来说明，例如一个传递函数为G(s)H(s)的系统，当开环增益K变化时，特征方程会改变，进而影响闭环极点的位置。通过对根轨迹的绘制，可以分析出不同K值下的闭环极点分布，从而判断系统的稳定性状态。例如，当K值增大时，可能会导致闭环系统由欠阻尼过渡到临界阻尼或过阻尼状态，这将影响系统的上升时间、超调量和稳定裕度等动态性能指标。 根轨迹分析还提供了关于系统动态特性的其他信息，如： 1. 系统在特定参数范围内是否保持稳定，可以通过观察根轨迹与虚轴的交点来判断。 2. 根轨迹的分支数量表明了系统可能的零点和极点对数。 3. 当K值在某一区间内时，系统可能处于过阻尼、临界阻尼或欠阻尼状态，这对应于不同的动态响应特性。 在MATLAB环境中，可以使用根轨迹绘图工具（rlocus函数）来直观地研究这些关系，并辅助系统设计者优化控制器参数，以实现所需的系统性能。例如，如果要求特定的超调量（σ%）和阻尼比（ξ），可以通过调整K值来实现。在示例中，当K*取特定值时，可以得到满足条件的σ%和ξ，从而确保系统具有良好的动态性能。 根轨迹分析法是控制系统设计中的一种重要工具，它可以帮助工程师理解系统参数变化对系统性能的影响，并指导系统参数的优化配置，以实现预期的动态响应。通过MATLAB等软件工具，根轨迹分析变得更加直观和实用，对于理解和改善控制系统的行为具有重要意义。