连续时间系统时域分析：h(t)解析与微分方程

"h(t)解答的形式-信号与系统引论-课件-郑君里-第2章-连续时间系统的时域分析" 在信号与系统分析中，"h(t)"通常指的是系统的冲激响应，它是系统对单位冲激函数δ(t)的响应。在连续时间系统的时域分析中，h(t)的解的形式与系统的特性密切相关，特别是其特征根的性质。 首先，当特征根全部为单根时，由于δ(t)及其导数在t>0时均为零，这意味着自由项在整个分析过程中始终为零。因此，这种情况下系统的冲激响应h(t)的形式与齐次解的形式相同。这为我们理解系统的动态行为提供了基础。 其次，h(t)的形式与特征根的实部和重数有关。具体来说： - 当特征根的实部全部大于零（即系统稳定）时，h(t)会随时间逐渐衰减至零。 - 如果特征根有重根或复根，那么h(t)可能会包含指数形式的振荡成分。 此外，h(t)的形式还与n和m的相对大小有关，这里n和m分别代表特征根的阶数和自由项的阶数： - 当n>m时，h(t)不会包含δ(t)及其导数。 - 当n=m时，h(t)将包含一次δ(t)。 - 若n<m，h(t)会包含δ(t)及其多个阶导数。 在分析连续时间系统时，我们通常使用两种主要的描述方法：输入输出描述法和状态变量描述法。输入输出描述法通过一元n阶微分方程来表达系统，而状态变量描述法则采用n元一阶微分方程组。在本课程中，我们将重点探讨输入输出描述法。 进行系统分析时，我们可能采用经典法或利用卷积积分。经典法基于电路元件的特性（如欧姆定律、基尔霍夫电压和电流定律）以及网络的拓扑结构来建立微分方程。卷积积分法则是解决零状态响应的关键，它表明系统对任意激励的响应可以通过其冲激响应h(t)来计算。 例如，在电路分析中，我们可以根据元件的伏安关系（如电阻的V=IR，电感的V=Ldi/dt，电容的V=Q/C）和网络的KCL（基尔霍夫电流定律）和KVL（基尔霍夫电压定律）来建立系统的微分方程。然后，使用经典法求解这些方程，得到系统对特定输入（如电流源is(t)）的响应v(t)。 总结起来，h(t)的形式不仅取决于系统的特征根，还与输入信号的类型和系统的数学模型相关。理解和掌握这些概念对于深入学习信号与系统以及进行系统分析至关重要。