信号与系统：连续时间系统的时域分析及卷积

"三与冲激函数或阶跃函数的卷积-信号与系统引论-课件-郑君里-第2章-连续时间系统的时域分析" 在信号与系统领域，卷积是一个核心概念，尤其在连续时间系统的时域分析中扮演着重要角色。本文将围绕与冲激函数或阶跃函数的卷积展开讨论，这是解决线性时不变系统（LTI系统）问题的关键工具。 卷积是处理系统响应的一种方法，它允许我们将复杂信号通过系统时的响应简化为已知的系统冲激响应和输入信号的卷积。冲激函数δ(t)是一个特殊的函数，它在t=0时的值为无穷大，但其积分却为1，使得它在分析中非常有用。阶跃函数u(t)则是定义为在t=0时从0跃升到1的函数，它在连续时间系统分析中也常被用作理想的输入信号。 在第二章“连续时间系统的时域分析”中，我们首先了解到时域分析方法的优势在于其直观性，直接通过对微分和积分方程的求解来理解系统的动态行为。这为学习更复杂的变换域方法（如傅立叶变换、拉普拉斯变换等）奠定了基础。 系统数学模型通常采用输入输出描述法，即用一元n阶微分方程来表示。在电路系统中，我们可以根据元件特性（如电阻、电感、电容的伏安关系）和网络拓扑约束（基尔霍夫电流定律KCL和电压定律KVL）来建立微分方程。例如，对于RCL并联电路，我们可以利用这些原理列出二阶微分方程，进而求得系统响应。 2.2节介绍了如何建立系统数学模型。对于电路系统，元件特性约束（如欧姆定律、基尔霍夫定律）和网络拓扑约束共同决定了系统的动态行为。例如，在电阻、电感和电容的并联电路中，通过KCL和元件伏安关系可以得到描述系统动态的微分方程。 2.3节探讨了时域经典法求解微分方程的方法。对于n阶线性时不变系统，其响应r(t)可以通过求解与激励e(t)相关的微分方程得到。在经典法中，我们通常先假设初始条件，然后解出微分方程的通解，再结合特定的初始条件确定特解。 卷积积分法是解决零状态响应（Zero State Response, ZSR）的有效手段。当系统处于初始静止状态，且受到任意激励时，系统的输出可以通过输入信号与系统冲激响应的卷积得到。冲激响应h(t)是系统对单位冲激输入的响应，它完全描述了系统对任意输入的动态特性。 这个课件深入讲解了连续时间系统的时域分析，特别是冲激函数和阶跃函数的卷积在求解系统响应中的应用，这对于理解和掌握信号与系统的基本理论至关重要。通过实例分析，读者可以更好地掌握如何运用这些概念解决实际的电路问题。