连续时间系统分析：冲激响应与阶跃响应详解

一、冲激响应 在信号与系统理论中，冲激响应是核心概念之一。它指的是一个线性时不变系统在受到单位阶跃或单位冲激信号δ(t)作用下的零状态响应。简写为h(t)，冲激响应反映了系统对突发输入的即时和后续反应，是系统动态特性的直接体现。理解冲激响应有助于分析系统在不同输入下的行为。 2.2 冲击响应与阶跃响应 冲激响应与阶跃响应是系统时域分析中的两个重要特性。阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作用下的响应，即信号从0突变为1时系统的响应，通常用来考察系统对连续变化输入的适应性。这两个响应之间可以通过卷积积分来计算，即系统对阶跃响应进行卷积运算得到冲激响应，反之亦然。 微分方程的经典解法在连续时间系统的分析中起着关键作用。一个系统的微分方程可以分解为齐次解和特解两部分。齐次解，即自由响应，是由系统自身的性质决定的，不受外部输入影响，与系统的特征根（固有频率）有关。特征根的求解是找到齐次解的基础。特解则是对特定输入的响应，又称为强迫响应，它与激励函数的形式紧密相连，通过待定系数法确定。 例如，对于微分方程y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = f(t)，我们首先会找出其特征方程的根，然后根据输入信号的不同选择相应的特解形式。在给定初始条件的情况下，如y(0)和y'(0)，我们可以利用这些信息来确定所有常数，从而得到系统的全响应。 在实际问题中，如例2.1.1所示，当f(t)分别为不同的函数时，我们需要分别计算齐次解和特解，然后通过初始条件求解待定常数，最终得到全响应。这对于理解系统在不同输入下的响应行为以及预测其未来状态至关重要。 冲激响应和阶跃响应的分析是信号与系统理论中的基础，它帮助我们深入理解系统的行为模式，并为系统设计、控制和优化提供了重要的工具。通过解决微分方程，我们可以获取系统的动态特性，包括响应的瞬态和稳态部分，这对于工程实践有着广泛的应用价值。