矩阵分析与计算：特征值、相似对角化与Jordan标准型

"该资源是一份研究生课程的矩阵分析与计算复习笔记，涵盖了矩阵的相似变换、特征值与特征向量、Jordan标准型以及Hamilton-Cayley定理等多个核心概念。笔记详尽地阐述了矩阵理论的基础知识及其应用，旨在帮助学生进行期末复习。" 在矩阵理论中，特征值与特征向量是理解矩阵性质的关键。特征值是当矩阵A作用于某非零向量v时，使得Av=λv成立的标量λ，而v则称为对应于λ的特征向量。特征值和特征向量可以通过求解特征方程det(A-λI)=0得到，其中I是单位矩阵，det表示行列式。特征值的代数重数是特征值在特征方程中的根的重数，几何重数则是矩阵A对应特征值的线性无关特征向量的数量。 矩阵的相似变换是一个重要的概念，它将一个矩阵转换为其对角矩阵，即A通过某个可逆矩阵P的作用可以变为对角矩阵D，即P^-1AP=D。这个D称为A的对角化形式，如果A能够被对角化，那么A必须有n个线性无关的特征向量。此外，矩阵的迹tr(AB)=tr(BA)是矩阵元素沿着对角线的和，对于相似矩阵，其迹相等。 Jordan标准型是处理不能完全对角化的矩阵的一种方式，当矩阵无法对角化时，可以将其转换为Jordan矩阵的形式。Jordan块是构成Jordan标准型的基本单元，Jordan定理描述了如何构建这样的标准型。通过特征向量法、初等变换法或行列式因子法可以求得Jordan标准型。Jordan标准型的应用包括求解矩阵的幂和一阶线性常系数微分方程。 Hamilton-Cayley定理是矩阵理论中的一个重要定理，它指出任何一个矩阵A都满足其特征多项式c(A)=0，并且矩阵的最小多项式是唯一的，且整除任何使A为零的多项式。最小多项式可以通过特征多项式或者Jordan标准型来求解，它反映了矩阵运算的某些基本性质。 这份笔记全面覆盖了矩阵分析的核心概念，不仅有助于理解矩阵的基本性质，也为解决实际问题提供了理论基础，如微分方程的求解和矩阵运算等。