证明 有限维线性空间的维数就是它的最大线性无关组所含向量 的个 数 .设 V 与 V′
是两个同构的有 限维 线性空 间 , V 到 V′的同构映 射为 σ.又设 V 是 n 维的 , α
1
, α
2
, …, α
n
是 V 的一个最大线性无关组 , 由性质( 3)知 σ(α
1
) , σ(α
2
) , …, σ(α
n
)是 V′的 n 个线性无关
向量 .假如它还不是 V′的最大线性无关组, 则把它扩充成最大线性无关组
σ(α
1
) ,σ(α
2
) , …, σ(α
n
) ,σ(α
n + 1
) , …,σ(α
n + k
) .
(因为 σ是 V 到 V′的映射, 故 V′中的任一向量α′在 V 中都有原象α, 使得 α′= σ(α) .) 而
由性质(3)推出向量组
α1 , α2 , …, αn , αn + 1 , …, αn + k
线性无关 .这是一个矛盾 , 因此
σ(α
1
) ,σ(α
2
) , …,σ(α
n
)
是 V′的最大线性无关组 , 故 V′的维数是 n .
定理 1 8 数域 P 上的任意两个 n 维线性空间 V 与 V′都是同构的 .
证明 在 V 中选取一个基 α
1
, α
2
, … , α
n
, 则 V 中任一向量α可表示为
α = k
1
α
1
+ k
2
α
2
+ … + k
n
α
n
.
又设 β
1
, β
2
, …,β
n
为 V′的一个基 , 现做向量 α′如下
α′= k
1
β
1
+ k
2
β
2
+ … + k
n
β
n
,
则显然 α′∈ V′.因此 , V 中任一向量α都对应着 V′中的一个确定向量α′, 且 α′由 α唯一确
定 .又由于两个空间在构成上完全平等 , 所以每个 α′∈ V′, 也能对应着 V 中 一个唯 一确 定
的向量α .
由上面建立的对应法则易知 , 若 α→α′, 且 β→β′, 则
α+ β→ α′+ β′; kα→ kα′.
因此 , V 与 V′是同构的 .
推论 数域 P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是维数相同 .
我们小结一下这一节 .由前面的说明及以上关于同构的讨论 , 可以知 道 , 同构的线性空
间有相同的代数性质(指那些仅与线性空间定义中两个运算有关的性质 , 而同构映射是保持
这两个运算的) , 因此 ,同构的线性空间是可以不加区别的 , 即认为是相同的 .其次 , 由于一切
n 维线性空间( 相同数域P 上的 )都与P
n
同构 , 这就可以用较具体的P
n
来认识比较抽象的 n
维线性空间 , 并且P
n
中许多性质照样可以搬到一般 n 维线性空间里来 .
1 .5 线性变换的概念
设 V 是数域 P 上的线性空间 .这里把从 V 到 V 的映射称为 V 的变 换 , 线性变换是其
中最简单、最基本的一种变换 , 它与矩阵、线性空间等都有密切联系 , 是矩阵理论的主要研究
对象之一 .
如无特别指出 , 以下几节提到的线性空间 , 都是指数域 P 上的线性空间 .
定义 1 7 数域 P 上的线性空间 V 的一个变换 T 称为线性变换 ,如果对任意 α,β∈ V
及 k∈ P, 都有
T (α + β) = T(α) + T(β) , T( kα) = kT(β) .
111 线性空间与线性变换
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hu_juntao
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