动态规划解决多段图最短路径：决策与递推实例

动态规划是一种解决最优化问题的算法策略，它特别适用于那些可以通过分解成相互重叠的子问题并逐个解决这些子问题来求解的问题。在这个上下文中，我们关注的是多段图的最短路径问题，这是一种典型的动态规划应用。 在处理多段图时，我们使用一个数组`cost`来存储从每个顶点到终点的最短路径成本，以及另一个数组`path`记录路径上的顶点顺序。关键在于，动态规划的策略是通过迭代地填充这个表格来寻找最短路径。公式（6.7）表明，`cost[i]`被定义为从顶点`i`到终点`n-1`的最短路径成本，这个值由所有从`i`可达的相邻顶点`j`（`i ≤ j ≤ n`）的边的代价`cij`加上`cost[j]`的最小值组成。 同时，公式（6.8）指示，为了找到`cost[i]`的最小值，我们需要找到使得`cij + cost[j]`最小的那个`j`值，并将其存入`path[i]`。这个过程涉及到回溯，因为`path[i]`不仅包含当前状态的选择，还反映了到达这个状态前的决策路径。 在以公路广告牌建设为例，动态规划的应用涉及到了多个阶段的决策过程。首先，我们需要将问题分解为一系列子问题，比如确定在每一段距离放置广告牌的收益。在每个阶段，我们要考虑所有可能的选择，而不是仅仅基于局部最优。例如，数塔问题中，贪婪算法可能会导致非最优解，因为它只关注当前步骤的最大收益，而动态规划则能够考虑到整个路径的影响，确保找到全局最大的路径和。 动态规划算法的关键在于其“阶段划分”和“递推”性质。阶段划分将问题划分为可管理的小部分，而递推则是通过将已知子问题的解用来解决更大的问题。在数塔问题中，递推规则帮助我们计算每层数据组合出的最优路径和，从而逐步接近最终的解决方案。 总结来说，多段图的最短路径问题通过动态规划得以解决，它强调了通过系统性地分解问题、存储中间结果并利用这些结果来优化决策的重要性。这种算法在实际应用中，如网络路由、项目调度等领域都表现出强大的优化能力。