非线性规划:实例驱动的优化决策

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第03章非线性规划探讨了在目标函数或约束条件中涉及非线性函数时的优化问题。相较于线性规划,非线性规划更为复杂,因为它缺乏普遍适用的算法。本章通过实例——投资决策问题,来展现非线性规划的数学模型。企业面临选择多个投资项目的情况,需要在有限的资金A元内,确定每个项目投资比例xi(取值0或1),以最大化收益与投资总额的比例。 投资决策问题可以表示为: 1. **目标函数**:寻找在投资组合中的最大收益与投资总额之比,即求解函数 \( \max Q = \frac{\sum_{i=1}^{n} b_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} a_i x_i} \),其中 \( x_i \) 是投资项目的收益和成本比值。 2. **约束条件**: - **资金限制**:投资总额不超过总资金A,即 \( \sum_{i=1}^{n} a_i x_i \leq A \)。 - **二元决策变量**:每个项目要么全投要么不投,用0-1变量表示 \( x_i \in \{0, 1\} \)。 3. **问题类型**:这是一个典型的最优化问题,属于非线性规划问题的一般形式 \( \min f(x) \) 或 \( \max f(x) \),在一组非线性不等式 \( g_j(x) \leq 0 \) 和等于0的线性不等式 \( h_j(x) = 0 \) 的条件下进行。 非线性规划的特点是目标函数和/或约束条件不是线性的,这导致了解决这类问题通常依赖于数值方法,如梯度下降、模拟退火、遗传算法等。每个方法都有其适用场景,没有一种万能的通用算法。在实际应用中,Matlab等软件工具提供了丰富的库函数和工具箱,可以帮助求解非线性规划问题。 非线性规划是一类关键的数学工具,用于解决经济、工程和其他领域中复杂的决策问题,它的研究和实践对于理解和解决实际问题具有重要意义。理解非线性规划的模型结构和求解策略是每个希望在优化领域深入学习的人必须掌握的核心内容。