光滑L-M方法求解非线性不等式组的全局超线性收敛性分析
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更新于2024-08-12
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"求解非线性不等式组的一个光滑L-M方法 (2013年)"
这篇论文探讨的是如何解决非线性不等式组的问题,采用了光滑L-M(Levenberg-Marquardt)方法,并结合了信赖域技巧。非线性不等式组在数学优化、工程计算以及许多实际问题中都具有广泛的应用,如约束优化、控制理论和系统分析等领域。然而,这类问题的求解通常极具挑战性,因为它们可能没有解析解或者解的计算复杂度非常高。
光滑L-M方法是一种在数值优化中常用的迭代算法,主要用于求解非线性最小化问题。Levenberg算法和Marquardt算法都是解决这类问题的有效工具,它们是梯度下降法的变种,特别适用于处理包含平滑非线性项的目标函数。在L-M方法中,当目标函数接近线性时,算法的行为类似于高斯-牛顿法;而在非线性较强的情况下,它则类似于梯度下降法,通过引入一个参数来平衡这两种行为,以确保算法的稳定性和收敛性。
在论文中,作者提出了一种新的光滑逼近函数,其目的是将非线性不等式组转换为非线性方程组。这种转换的关键在于构造一个适当的光滑函数,使得不等式的边界条件可以被平滑地近似,从而允许我们应用数值方法。这种方法的优势在于,它能够保持原始问题的基本性质,同时简化了解的求解过程。
结合信赖域技巧的L-M方法进一步增强了算法的性能。信赖域策略是指在每一步迭代中,算法都在一个预先定义的信任区域内寻找下一个解的候选点。这个区域的大小会随着迭代进行而动态调整,以平衡搜索的全局性和局部性。这有助于避免早熟收敛,同时保证算法能够从全局角度接近最优解。
论文中还证明了所提出的算法具有全局收敛性和局部超线性收敛性。全局收敛性意味着无论初始猜测值如何,算法都将收敛到问题的解,而局部超线性收敛性则表明,在某些条件下,算法的收敛速度会随着迭代次数增加而加快。这些特性对于实际应用来说至关重要,因为快速且可靠的收敛性可以显著减少计算时间和资源消耗。
数值实验的结果验证了该算法的有效性,显示它在处理给定测试函数时能够成功找到解决方案。这些实验通常包括对比不同初始条件下的收敛速度和解的质量,以及与其他已知方法的性能比较。
这篇2013年的论文提供了一个创新的光滑L-M方法,用于求解非线性不等式组,结合了光滑逼近函数和信赖域技术,确保了算法的全局收敛性和局部超线性收敛性。这一方法对优化理论和实践有着重要的贡献,特别是在处理非线性约束问题时,可以作为一种有效且可靠的求解工具。
2020-08-13 上传
2021-04-26 上传
2021-05-15 上传
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2021-05-16 上传
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