高效算法：计算二次不等式定义的半代数集Euler-Poincaré特性

在"A代数中的COMPTG EULER-PO：抽象、算法和类别"这篇论文中，作者探讨了在实闭域R上的半代数集SRk的研究，特别关注了由一簇二次不等式P1≤0, ..., Pi≤0构成的集合，其中每个不等式的次数限制为2，记作P_i ∈ R[X1, ..., Xk]。SRk的定义允许我们研究这种特定类型的集合，并对其进行深入分析。 核心问题是计算这样一个半代数集S的欧拉-庞加莱特性，这是通过其Betti数之和来体现的，它与S的拓扑性质密切相关。论文指出，对于这样的集合，Betti数之和的上界为kO（k），即与变量数量k成线性增长的复杂度。这在有限维情况下，意味着可以找到一个k阶多项式界限。 尽管当前存在算法可以检查S是否非空，计算每个连通分量的样本点集合，甚至估计连通分量的数量，但这些算法的复杂度并不理想，比如连通分量计数的最著名算法复杂度为k2O(n)。论文的目标是提出一个新的算法，其复杂度降低至kO（k），这对于解决这类问题具有重要意义。 该算法的核心依赖于有效地计算多项式族的可实现符号条件的欧拉-庞加莱特征，这与以往技术有所不同。算法4.2在第4节中被详细阐述，其目标是提供一种高效方法，不仅计算出S的欧拉-庞加莱特性，而且保持了与变量数量k的低阶复杂度。这在数学学科中属于代数不等式和算法设计领域，特别是在14P10（代数几何）和14P25（多元复分析）的子领域。 这篇论文的主要贡献在于改进了计算半代数集欧拉-庞加莱特性的算法，降低了算法的时间复杂度，这对于理论研究和实际应用中的代数问题求解具有显著的价值。