计算几何作业1:凸包性质与证明
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更新于2024-08-04
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"该文件是Computational Geometry的作业1,包含算法和证明题,讨论了凸包的概念及其性质。文件以doc文档的形式呈现,主要探讨了凸包的定义、交集的性质以及最小周长多边形的问题。"
在计算几何领域,凸包(Convex Hull)是一个关键概念,它被定义为所有包含给定点集S的凸集合的交集。这个定义等价于:凸包是包围S的所有多边形中具有最小周长的那个。在作业的解答中,提到了几个关键证明:
1. **交集的凸性**:
如果有两个凸集合C1和C2,它们的交集C3也是凸的。这是因为如果C1和C2中的任意两点a和b形成的线段上的任何点c都不在C1或C2之外,那么C3将包含这条线段。如果c不在C3中,这将违反C1和C2是凸集的假设,所以交集C3必须是凸的。这意味着有限个凸集合的交集也是凸的。
2. **最小周长多边形的性质**:
要证明最小周长的多边形P是凸的,可以考虑在P中选取任意两点a和b,连接a和b形成一条边。如果这条边不在P内,那么可以通过这条边形成一个新的多边形P',其周长小于P。因为我们要找的是最小周长的多边形,所以P必须是凸的,这样所有可能的内部边都已经包含在内。
3. **凸包与最小周长多边形的关系**:
凸包包含了点集P中的所有点,而且具有最小的周长。如果存在一个不是凸的多边形也能包含所有的点,那么根据之前的证明,它的周长将会更大,这与最小周长多边形的定义矛盾。
作业还提到了一个未排序的n条边构成的凸多边形的边集E。为了处理这样的问题,通常需要设计一个时间复杂度为O(nlogn)的算法来构建凸包。经典的算法如Graham扫描、Andrew's Monotone Chain算法或者QuickHull算法都可以达到这个时间复杂度,它们首先对边进行排序,然后逐步构建凸包,确保在处理过程中保持一定的单调性,从而避免了重复的工作并保证了正确性。
这些算法的基本思想是逐步构造凸包,从最底部的边开始,每次添加新的边时都确保不会破坏已构建部分的凸性。通过这种方式,可以在对边进行一次排序后,以近似线性的时间复杂度找到所有点的凸包。在实际应用中,这些算法对于处理大量数据的几何问题非常有用,例如在碰撞检测、路径规划等领域。
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丛乐
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