梯度下降与小批量梯度下降：机器学习中的优化方法

"这篇资料主要介绍了基于梯度的学习方法，包括梯度下降、随机梯度下降和小批量随机梯度下降，并讨论了学习率的选择在优化过程中的重要性。" 在机器学习领域，Gradient-Based Learning（基于梯度的学习）是一种核心的优化技术，用于调整模型参数以最小化损失函数。损失函数反映了模型预测与实际数据之间的差距，是衡量模型性能的关键指标。本文主要涉及以下几个方面： 1.1 引入基于梯度的学习 损失函数可以分为两种类型：训练损失和泛化损失。训练损失是模型在训练集上的平均损失，而泛化损失则是对整个潜在数据分布的期望损失。在监督学习中，每个样本`z`由输入`x`和对应的标签`y`组成，模型`f_θ(x)`通过参数`θ`预测`y`。 1.2 梯度 梯度是函数`C(θ)`关于参数`θ`变化率的向量表示，尤其是在微小的参数变化`δθ`下，它描述了成本函数`C`的增减趋势。对于多维参数`θ`，梯度`∂C(θ)/∂θ`是一个包含每个参数`θ_i`导数的向量，其他参数保持不变。 1.3 梯度下降 梯度下降是基于梯度的学习中最基础的优化算法。目标是找到使成本函数`C(θ)`最小化的参数`θ`。如果能解出`∂C(θ)/∂θ = 0`，则可以找到极值点，包括最小值、最大值和鞍点。但在实际操作中，通常采用迭代的方式更新参数，每次沿着梯度的反方向移动一小步，即`θ := θ - η * ∇C(θ)`，其中`η`是学习率。 1.4 学习率 学习率`η`是梯度下降中一个关键的超参数，它决定了每次迭代时参数更新的幅度。过大可能导致振荡甚至发散，过小则可能导致收敛速度过慢。实践中，常使用固定学习率、动态学习率或者自适应学习率策略如Adagrad、RMSprop或Adam来平衡收敛速度和稳定性。 1.5 随机梯度下降（SGD）和小批量随机梯度下降（Mini-batch SGD） 为了提高效率并减少噪声的影响，实际应用中往往不使用全部训练样本的梯度，而是取单个样本（SGD）或一小批样本（Mini-batch SGD）的梯度进行更新。SGD虽然有较高的方差，但计算速度快，适合大数据集。Mini-batch SGD则在速度和稳定性之间取得平衡，是目前深度学习中常用的优化方法。 总结起来，基于梯度的学习方法是机器学习中优化模型参数的关键手段，涉及梯度的理解、梯度下降算法的运用以及学习率和批量大小的选择，这些都直接影响到模型的训练效果和效率。在实际问题中，理解和掌握这些概念对于构建有效的机器学习模型至关重要。