二维空间的仿射变换及其应用

仿射变换是计算机图形学中一种基本的二维坐标映射方法，它保持了图形中的“平直线”和“平行性”。在空间直角坐标系统中，仿射变换通过线性组合实现，通常涉及五个基本操作：平移、缩放、翻转、旋转和剪切。 1. **定义与矩阵表示**: - 仿射变换是通过一个3x3的矩阵来描述的，其中矩阵的最后一行通常是(0, 0, 1)，这表示变换不改变图形的高度。矩阵乘法应用于坐标点（x, y, 1），将其映射到新的坐标(x', y')，公式为： ``` [x'] = m00 * x + m01 * y + m02 [y'] = m10 * x + m11 * y + m12 ``` - 变换可以分解为三个部分：旋转、缩放和平移，分别对应矩阵的不同分量。 2. **核心函数与实例**: - **平移变换**: `AffineTransform.getTranslateInstance(double tx, double ty)`，如矩阵形式 `[1 0 tx; 0 1 ty; 0 0 1]`，将所有点向右(+)或左(-)平移tx个单位，向上(+)或下(-)平移ty个单位，保持图形形状不变。 - **缩放变换**: `AffineTransform.getScaleInstance(double sx, double sy)`，用矩阵 `[sx 0 0; 0 sy 0; 0 0 1]`，分别对x轴和y轴进行缩放，比例为sx和sy。 - **剪切变换**: `AffineTransform.getShearInstance(double shx, double shy)`，通过矩阵 `[1 shx 0; shy 1 0; 0 0 1]` 实现，产生沿水平(shx)和垂直(shy)方向的剪切效果。 3. **性质与分类**: - 仿射变换是“刚体变换”，即在二维空间中不改变形状和大小，只改变位置。相对地，非仿射变换如缩放会改变图形的比例，而剪切则使直线不再平行。 理解并熟练运用仿射变换对于计算机图形处理、图像处理和游戏开发等领域至关重要，它在图像变换、布局调整以及渲染过程中扮演着基础的角色。通过这些函数，开发者可以方便地执行各种复杂的二维空间变换，以适应视觉效果的需求。