有限状态随机过程：Markov链详解

"有限状态表示的随机过程，特别是Markov过程，是用于描述自然界许多随机现象的重要数学模型。这类过程的样本空间由有限个状态组成，随着时间演变，状态之间按照特定的记忆性规则进行转移，形成了离散时间Markov链。在理解和应用Markov链时，我们关注其定义、状态方程、状态分类以及实际应用案例，如停等ARQ系统的分析。" Markov过程是一种随机过程，它的核心特性是马尔可夫性质，即过程的未来演变只依赖于当前状态，而不受其历史状态的影响，这种性质也被称为无后效性。在离散时间Markov链中，这一特性表现为：给定当前状态，未来状态的概率分布仅由当前状态决定，而与到达当前状态的路径无关。 第6章的焦点在于离散时间Markov链，它作为随机过程的一个特殊类型，有明确的定义和一系列重要的性质。离散时间Markov链的定义涉及到状态空间S，其中每个状态xi属于S，且存在一个状态转移概率矩阵，描述了从一个状态转移到另一个状态的可能性。状态方程是理解Markov链动态的关键，它阐述了当前状态如何影响下一状态的概率分布。 状态分类是Markov链分析中的一个重要部分，主要分为三类：常返态（包括正返态和零返态）、暂留态和吸收态。常返态指的是状态在无限时间内会反复访问，正返态会以非零概率回到自身，而零返态则不会返回自身。暂留态会最终离开，而吸收态是无法离开的终态。了解状态的分类有助于分析过程的长期行为。 在实际应用中，离散时间Markov链广泛应用于各种领域，例如通信网络中的停等ARQ（Automatic Repeat reQuest）系统就是一个典型例子。在这个系统中，接收端根据接收到的数据质量决定是否请求重传，整个过程可以建模为一个Markov链，通过分析链的状态转移，可以计算出平均传输时间和成功率等关键性能指标。 Markov链作为有限状态随机过程的一种，提供了一种简洁且强大的工具来描述和预测那些具有有限状态空间且满足马尔可夫性质的随机现象。通过深入理解其定义、性质和应用，我们可以更有效地分析和模拟复杂系统的行为。