《应用泛函分析原理》- 杨有龙 - 实分析基础概要

"《应用泛函分析原理》是西安电子科技大学理学院杨有龙教授编写的教材，专注于泛函分析的基础知识，适用于工科学生提升数学能力。" 在泛函分析这一数学领域中，实分析基础是入门的重要部分。本教材的第一章就详细介绍了实分析的基础概念，包括集合和映射。集合是数学中的基本构造，它由一些特定对象组成，这些对象称为集合的元素。集合的二元运算包括交集、并集、差集和补集。交集(A ∩ B)是同时属于集合A和B的所有元素组成的集合，而并集(A ∪ B)是至少属于A或B的元素的集合。差集A - B包含所有属于A但不属于B的元素，而余集(cA)是A的补集，即X中不在A中的所有元素的集合。 书中还讨论了家族子集的概念，比如一族子集{A_α | α ∈ I}，其中I是指标集。这些子集的并集和交集分别可以用极限操作来定义，如当I是无限集时，可以有并集的存在性和交集的唯一性。 定理1.1阐述了分配律，这是集合运算的基本性质。它表明集合的并集和交集与另一个集合的运算可以按预期分配，即(B ∩ A_α)∪(B ∪ A_α) = B ∪ (A_α ∩ B_α)，以及(B ∪ A_α)∩(B ∩ A_α) = B ∩ (A_α ∪ B_α)。这个性质对于理解集合的组合至关重要。 定理1.2是De Morgan定律，它说明了补集运算与并集和交集之间的关系。具体来说，(cA)∪(cB) = c(A∩B) 和 (cA)∩(cB) = c(A∪B)。De Morgan定律在处理复杂集合运算时非常有用，它提供了转换问题角度的工具。 这些基础知识构成了泛函分析的基石，因为泛函分析研究的是函数空间的结构，包括线性映射、连续性和积分等概念。在后续章节中，教材可能会进一步探讨拓扑空间、Banach空间、Hilbert空间以及泛函的性质和理论，这些都是现代数学和物理学中的核心概念，特别是在量子力学、偏微分方程和信号处理等领域有着广泛应用。