Matlab编程实现最优化方法与函数凸性分析实例

本资源是一份关于最优化方法及其MATLAB程序设计的课后答案，由马昌凤编写。主要内容涵盖了以下几个知识点： 1. 线性规划中的拉格朗日乘数法： - 提供了如何通过拉格朗日乘数法处理线性不等式约束问题的实例。通过将原问题的两个不等式分别乘以参数λ和1-λ，然后相加，形成一组新的线性不等式，最终用于构造拉格朗日函数进行求解。 2. 函数的凸性和严格凸性判断： - 对于函数f(x) = x^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + 2x_1 + 3x_2，讨论了其二阶导数的连续性和与凸性相关的定理。通过计算Hessian矩阵∇^2f(x)，确定了该函数为凸函数，因为Hessian矩阵是对称的，并且其对角线元素非负。 3. 严格凸函数的证明： - 证明了函数f(x) = 1/2x^T G x + b^T x 是严格凸的当且仅当Hesse矩阵G是正定的。这里涉及到的是Hesse矩阵（即二阶偏导数的矩阵）在严格凸性证明中的关键作用，即它对于凸函数的局部性质起到决定性作用。 4. 黄金分割搜索算法示例（Goldschmidt’s Algorithm）： - 提供了一个名为"golds"的MATLAB函数，用于实现黄金分割搜索算法。这个算法是一种数值优化技术，用于在一个区间内寻找函数的最小值，通过不断利用黄金比例分割区间来逼近最优解。输入参数包括目标函数φ、搜索区间的端点a和b，以及自变量和函数精度控制的δ和ε。 总结来说，这份文档涵盖了最优化方法中的理论分析，如线性规划和凸函数理论，以及具体到MATLAB编程实现的黄金分割搜索算法。这对于理解和实践最优化问题的求解具有重要的参考价值，特别是对于那些需要解决实际问题并运用数学工具如MATLAB的工程师和学生来说。