外心对偶剖分有限体积元法：误差估计与应用

"基于外心对偶剖分的有限体积元法 (2005年)。作者孙凤芝和李永海在论文中探讨了如何使用外心对偶剖分来改进有限体积元方法，特别是在解决椭圆型和抛物型方程时的精度。他们提出，如果原始三角形剖分的每个三角形单元的重心Q与其外心C之间的距离满足QC = O(h^2)，那么可以得到二阶椭圆型方程的L^2误差估计，以及抛物型方程的半离散和全离散有限体积元格式的L^2和H^1误差估计。该研究对数值求解偏微分方程的误差控制提供了理论基础。" 本文详细研究了有限体积元法在解决两类重要类型的偏微分方程——椭圆型和抛物型方程时的应用。有限体积元法是一种结合了有限元方法和有限差分方法优点的数值方法，它通过在空间上将连续区域划分为互不重叠的子域（即体积元），然后在这些子域内建立局部平衡方程，从而近似全局问题的解。 在外心对偶剖分中，原始三角形剖分的每个三角形的外心是对偶网格的一个节点，这样的对偶结构有助于提高算法的稳定性，并可能改善误差估计。论文指出，当三角形单元的重心到其外心的距离QC与单元边长h的关系满足QC = O(h^2)时，可以得到更精确的误差估计。这个条件确保了剖分的局部几何质量良好，从而有利于误差分析。 对于二阶椭圆型方程，论文证明了基于外心对偶剖分的有限体积元法能够达到L^2误差估计，这意味着解的平方积分误差随着步长h的减小以二次收敛率下降。这在数值计算中是理想的，因为它意味着通过减小网格尺寸，可以显著提高解的精度。 而对于抛物型方程，作者不仅考虑了半离散格式（时间连续、空间离散）的L^2误差估计，还讨论了全离散格式（时间和空间都离散）的H^1误差估计。H^1误差估计通常涉及到解的一阶导数的精度，这在处理具有强烈非线性或复杂流场的问题时特别重要。 这篇论文的贡献在于提供了在外心对偶剖分下，有限体积元方法在解决椭圆型和抛物型方程时的误差分析，为实际应用中选择合适的剖分策略提供了理论指导。此外，这种基于几何性质的误差估计方法对于优化数值求解的效率和准确性具有实际意义，特别是在处理复杂的工程和物理问题时。