退化椭圆方程的变号解研究与现象分析

本文探讨了退化椭圆方程的变号解，由作者代晋军、彭双阶和赵瑞环合作完成，发表在华中师范大学数学与统计学科学学院。研究焦点在于一类与Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式相关的退化椭圆问题。该问题的特点在于其二阶椭圆算子的退化性质，这导致在求解过程中会遇到一些新现象。 在文章的开头部分，作者明确了研究目标，即解决的问题是寻找在有界域Ω内的变号解，这里的退化体现在两个参数a和d的关系上，即a<d≤a+1，同时涉及的指数p和q满足特定条件，如p=2N/(N-2)和q在一定范围内。问题的标准形式为： \[ \left\{ \begin{aligned} -\text{div}\left(|x|^{1-2a}\nabla u\right) &= |x|^{-b}|u|^{p-2}u + \eta|x|^{-d}|u|^{q-2}u &\quad& \text{在} \Omega \\ u &= 0 &\quad& \text{在} \partial\Omega \end{aligned} \right. \] 其中η是一个常数，且0属于Ω内。主要目标首先是证明一个全局紧性结果，这意味着在寻找解的过程中存在某种程度的集中趋势或有限度的局部化。这一结果对于理解问题的解的行为至关重要，尤其是在退化情况下，它可能不同于标准椭圆方程的情况。 接着，作者转向证明问题的变号解的存在性，即在Ω内找到至少一个解，其在某些区域上取正，在其他区域上取负。这种变号解的存在性表明了问题的非平凡性和多模态性，这对于理论研究和实际应用都是有意义的。 值得注意的是，由于方程的退化性，作者必须开发新的分析工具和技术来克服额外的挑战，例如，如何处理在低维度区域（即|x|接近零）的解行为。Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式在此提供了关键的估计和界限，使得这些问题能够得到深入探讨。 这篇文章的核心内容围绕着退化椭圆方程的变号解研究，涉及全局紧性、问题的特殊结构以及新现象的发现。对于理解和解决此类退化问题的数学家来说，这篇文章提供了一个重要的理论基础和技术方法。