离散时间Markov链详解与应用：停-等ARQ系统

"《随机过程》教程讲解了Markov过程，特别是离散时间Markov链的概念、性质和应用，如停等ARQ系统的分析。" Markov过程是一种重要的随机过程，它在描述许多自然和工程领域的随机现象时起着关键作用。这个过程的特点在于它的未来状态只依赖于当前状态，而不受历史状态的影响，这一特性被称为无后效性或马尔可夫性质。 在离散时间Markov链（DTMC）中，时间是离散的，通常以时刻t=1,2,3,...来表示。链中的每个状态代表系统可能的一种情况，而从一个状态到另一个状态的转移概率是有定义的。DTMC的定义包含以下几点： 1. **状态空间**：DTMC有一组有限或无限的状态集合S，系统可以在这些状态之间转换。 2. **状态转移概率**：对于每个状态i和j，存在一个从状态i转移到状态j的概率Pij，且所有离开状态i的转移概率之和为1，即Σ_j Pij = 1。 3. **无后效性**：给定当前状态，未来状态的分布仅取决于当前状态，而不依赖于到达当前状态的历史路径。用数学公式表示为： \[ P(X_{n+1}=j|X_1=i_1,X_2=i_2,...,X_n=i_n) = P(X_{n+1}=j|X_n=i_n) \] 6.2.1 **定义**：离散时间Markov链由状态空间S和状态转移概率矩阵P组成。 6.2.2 **状态方程**：状态转移的动态可以通过状态转移概率矩阵P进行描述，其中Pij表示从状态i转移到状态j的概率。 6.2.3 **状态分类**：DTMC的状态可以分为三类：吸收态（无法离开的状态）、瞬时态（只能访问一次的状态）和遍历态（可以反复访问的状态）。状态的性质影响链的行为和长期行为。 6.2.4 **应用举例**：停等ARQ（Automatic Repeat-reQuest）系统是一个通信协议的例子，其中DTMC可以用来分析数据包传输的成功率和平均传输时间。通过建立状态模型，可以计算出不同错误率下的性能指标。 在随机过程的框架下，Markov链是随机变量序列的一个特例，它提供了研究随时间变化的复杂系统行为的工具。Markov过程可以被看作是第三章随机过程内容的扩展，因为它专注于具有特定记忆特性的随机过程。 通过将自然界的随机现象抽象为有限状态的随机过程，Markov链能够清晰地捕捉到状态之间的转换模式，这对于理解和预测系统的统计特性具有重要意义。无论是简单的理论分析还是复杂的工程应用，Markov链都是一个强大的数学模型，广泛应用于生物学、物理学、经济学、计算机科学和通信工程等领域。