偏微分方程精确解：射影Riccati方法与sine-cosine法
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更新于2024-09-06
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"史荣芬、史后霞和李超在兰州大学数学与统计学院的研究工作中，探讨了一类偏微分方程的精确解法，主要利用射影Riccati方法和sine-cosin方法。他们将包括Klein-Gordon方程、修正KdV方程和非线性Schrödinger方程在内的多个偏微分方程转化为类椭圆子常微分方程，并成功找到了这些方程的精确解。该研究在非线性偏微分方程的解析解探索领域具有重要意义。"
本文是首次发表的论文，研究重点在于提供一种新的处理偏微分方程的方法。首先，作者们将几种重要的偏微分方程，如Klein-Gordon方程（一个在量子场论中常见的波动方程）、修正KdV方程（在流体动力学中有应用）以及非线性Schrödinger方程（在量子力学和凝聚态物理中广泛出现），通过行波变换转化为类椭圆子常微分方程。这种变换是解决复杂问题的一种有效策略，它简化了原始问题的结构，使得解法更为直接。
接着，研究人员应用了射影Riccati方法和sine-cosin方法来求解这些转化后的类椭圆子常微分方程。射影Riccati方法是一种基于Riccati方程的非线性变换技术，通常用于找到非线性微分方程的解析解。而sine-cosin方法则利用三角函数的性质，通过构造适当的三角级数解，能够处理一些特定形式的微分方程。这两种方法的结合，使得作者能够成功地找到上述非线性偏微分方程的精确解。
关键词包括：类椭圆子常微分方程、sine-cosin方法、Klein-Gordon方程、修正KdV方程和非线性Schrödinger方程，这表明了研究的焦点和应用领域。PACS分类号02.30.Jr和04.20.Jb分别对应于“数学方法”和“连续介质力学”，进一步明确了该研究在理论物理学和数学分析中的位置。
这项工作为非线性偏微分方程的求解提供了新的工具和思路，对于理解和解决相关领域的实际问题具有重要价值。通过这种方法，科研人员可以更有效地探索这些方程在物理、工程和其他科学领域的应用。
substituting (2.4) into Eq.(2.1), then the left side of the Eq.(2.1) is converted into another polynomial
in f
i
g
j
(i, j = 0, 1, 2, ··· , n), collecting the coefficients of the f
i
g
j
(i, j = 0, 1, 2, ··· , n) and eliminating
each of them, we get a set of algebraic equations for a
0
, a
1
, b
1
, solving the algebraic equations and
substituting the solutions of Eq.(
2.3) into (2.2), we get the solutions of the elliptic-like sub-ODE as
follows:
Case1: If a
2
1
=
Ap(r
2
+h
2
−s2)
2qD
, b
2
1
= −
Ap
2
2D
, 2B + pqA = 0, r
2
+ h
2
− s
2
> 0, AD < 0, q 6= 0, pq < 0,
φ
1
(ξ) =
a
1
q
r + s cosh(
√
−pqξ) + h sinh(
√
−pqξ)
−
b
1
√
−pq
p
s sinh(
√
−pqξ) + h cosh(
√
−pqξ
r + s cosh(
√
−pqξ) + h sinh(
√
−pqξ)
(2.5)
where h, s, p, q, r are constants.
Case2: If b
1
= −
2Ap
2
D
, 2Apq + B = 0,
A
D
< 0, q 6= 0, pq < 0,
φ
2
(ξ) = −
b
1
√
−pq
p
s sinh(
√
−pqξ) + h cosh(
√
−pqξ
r + s cosh(
√
−pqξ) + h sinh(
√
−pqξ)
(2.6)
where h, s, p, q are constants.
Case3: If a
2
1
=
2Ap(h
2
−s
2
)
qD
, B − Apq = 0,
A(h
2
−s
2
)
D
< 0, q 6= 0, pq < 0,
φ
3
(ξ) =
a
1
q
s cosh(
√
−pqξ) + h sinh(
√
−pqξ)
(2.7)
where h, s, p, q, r are constants.
Case4: If a
2
1
=
Ap(r
2
−h
2
−s2)
2qD
, b
2
1
= −
Ap
2
2D
, 2B + pqA = 0, r
2
− h
2
− s
2
> 0,
A
D
< 0, pq > 0,
φ
4
(ξ) =
a
1
q
r + s cos(
√
pqξ) + h sin(
√
pqξ)
+
b
1
√
pq
p
s sin(
√
pqξ) + h cos(
√
pqξ
r + s cos(
√
pqξ) + h sin
√
pqξ)
(2.8)
where h, s, p, q, r are constants.
Case5: If b
2
1
= −
2Ap
2
D
, 2Apq + B = 0,
A
D
< 0, r = 0, pq > 0,
φ
5
(ξ) =
b
1
√
pq
p
s sin(
√
pqξ) + h cos(
√
pqξ
s cos(
√
pqξ) + h sin
√
pqξ)
(2.9)
3
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Group classification and exact solutions of a class of variable coefficient nonlinear wave equations
2020-02-18 上传
Three Steps of Singular Perturbation Method in Partial Differential Equations: Handling Boundary ...
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2023-05-26 上传
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