线性系统最优控制：线性二次型指标与状态调节器

"横截条件为-线性系统二次型指标的最优控制" 在控制理论中，线性系统二次型指标的最优控制是解决一类特殊优化问题的关键方法，特别是在线性系统中，它允许我们找到一种最优的控制策略来最小化特定的性能指标。这个主题主要围绕线性二次型（LQ）问题展开，该问题涉及到寻找一个反馈控制律，使得由线性系统动态和二次型性能指标定义的总成本最小。 5.1 引言部分指出，对于非线性系统的最优控制，通常会遇到复杂的两点边值问题，这在数学上难以求解。然而，当系统是线性且性能指标是二次型函数时，问题变得更为可处理。线性二次型问题的一个重要工具是黎卡提方程，它可以用来求解最优控制律。黎卡提方程是一个非线性微分或代数方程，但其解析解已经被充分研究，可以利用成熟的数值方法求解。 5.2 线性二次型问题的提法通常包括一个线性状态方程和一个二次型性能指标，其中状态变量为\( x(t) \)，控制输入为\( u(t) \)，指标函数可能是由\( x(t) \)和\( u(t) \)的组合构成的二次函数。目标是找到一个反馈控制\( u(t) = f(x(t)) \)，使得在给定的起始和结束时间内的总性能指标达到最小。 5.3 到5.7章节涵盖了在不同情况下的最优控制问题，包括终端时间有限的连续系统、稳态连续系统、离散系统以及伺服跟踪问题。在这些情况下，线性二次型最优控制提供了构造反馈控制器的清晰框架，以改善系统的性能或实现特定的控制目标。 5.8 小结部分可能总结了线性二次型问题在实际中的应用价值，比如在飞行器轨迹优化问题中的例子。在飞行器控制中，尽管有模型误差和未知扰动，通过求解线性二次型最优控制问题，可以得到一个反馈控制律，用于校正开环控制，从而提高飞行器的实际轨迹跟踪精度。 线性系统二次型指标的最优控制是一种强大的工具，它提供了解决复杂控制问题的有效途径。通过对线性系统的状态和控制输入施加二次型性能指标，我们可以利用数学工具，如黎卡提方程，来设计最优的反馈控制策略，以达到最佳的系统性能。这种方法在工程、航空航天和其他需要精确控制的领域中具有广泛的应用。