全局收敛的改进多参数非线性共轭梯度法

"这篇论文是关于改进的多参数非线性共轭梯度法及其在全球收敛性方面的研究，发表于2010年的《西南师范大学学报（自然科学版）》第35卷第2期。作者是黄海和林穗华，主要探讨了在无约束优化问题中的共轭梯度法，特别是如何在不精确线性搜索和非二次目标函数条件下保证算法的全局收敛性。" 在优化问题中，尤其是无约束优化问题，共轭梯度法是一种广泛使用的数值方法，用于寻找目标函数的最小值。这种方法基于迭代过程，通过调整步长因子αk和搜索方向dk来逐步接近最优解。传统的共轭梯度法的搜索方向dk满足一定的共轭条件，如文献中提到的Hessian矩阵H的共轭条件（diHdj = 0，i ≠ j）。这个条件确保在二次可微目标函数和精确线性搜索的情况下，搜索方向是正交的。 然而，在实际应用中，目标函数可能不是二次形式，而且通常使用的是非精确线性搜索，这导致共轭条件难以满足。为了克服这一挑战，论文提出了一个新的共轭条件（6），即dTk-1yk-1 = -tgTk-1sk-1，其中yk-1和sk-1分别代表梯度和位置的差分，t是标量。这个条件允许在非精确线搜索和非二次目标函数情况下保持某种形式的共轭性。 论文进一步发展了这一思想，通过对HS、PRP和LS方法的改进，提出了WYL、MHS和MLS方法，以及包含两个参数的共轭梯度法。这些方法在处理二次正定目标函数时仍能符合共轭条件。然后，论文引入了βDLk和βDL+k作为新的标量参数，它们基于文献中提出的共轭条件和前一步的梯度变化进行计算。 全球收敛性是优化算法的一个关键属性，它意味着算法无论初始点在哪里，都能保证找到全局最优解。论文的核心贡献在于证明了在SWP线性搜索下，所提出的改进多参数共轭梯度法具有全局收敛性。这意味着即使在非精确线性搜索和非二次目标函数的复杂环境下，该算法也能保证找到全局最小值，这对于实际问题的求解具有重要意义。 这篇论文深入研究了无约束优化问题中的共轭梯度法，通过创新的共轭条件和参数调整策略，增强了算法的适应性和全局收敛性能，对于优化理论和实际应用有着重要的理论价值和实践意义。