有限单元法详解：从几何离散到方程组建立

"这样上述表达式合并在一起写成矩阵形式如下-有限单元法课件" 有限单元法是结构工程和计算力学中一种广泛应用的数值分析方法，用于求解各种工程问题，特别是涉及弹性力学、流体力学等领域的问题。这种方法将连续的物理区域离散为多个简单的“有限单元”，每个单元内部的物理量（如位移、应变、应力）通过单元结点的位移来近似表示。 在有限单元法中，首先进行结构物的离散化，即将复杂的结构划分为若干个有限大小的单元，这些单元可以是线性的，如杆单元，也可以是二维的，如四边形单元或三角形单元，甚至三维的体单元。单元的数量和大小取决于所需的计算精度和可用的计算资源。例如，图1.1中的杆系结构被划分为6个单元，而图1.2中的带圆孔薄板则利用对称性划分为三角形单元以减少计算复杂性。 接下来，确定单元的位移模式。这是通过选择一组合适的形函数来实现的，形函数描述了单元内各点位移如何依赖于结点位移。形函数矩阵N乘以结点位移矩阵δ即可得到单元内任意点的位移矩阵d。形函数的选择对计算结果的精度至关重要。 然后，通过几何方程和物理方程来建立单元特性。几何方程（应变与位移的关系）描述了单元变形时应变ε与结点位移δ之间的数学联系，通常通过变形矩阵B来表达。物理方程，如Hooke定律，建立了应力σ与应变ε之间的线性关系，这涉及弹性矩阵D，它与材料的弹性常数有关。这些方程结合形函数可以推导出单元的应力和应变状态。 利用虚位移原理或最小势能原理，可以建立单元刚度方程，得到单元结点力矩阵F和单元刚度矩阵k。这些方程反映了单元在给定荷载下的响应。 最后，将所有单元的刚度矩阵组合成整体刚度矩阵K，结点力矩阵P（包括直接结点荷载和等效结点荷载）与结点位移矩阵Δ，形成一个大的联立方程组，即结构的平衡方程。解这个方程组可以得到结构所有结点的位移，进而求得应力和应变分布。 在实际应用中，有限元分析通常涉及程序设计，有多种商业化软件可供选择，如通用软件和专用软件。通用软件如ANSYS、ABAQUS等，它们具有广泛的适用性和标准化的输入输出流程，而专用软件则针对特定领域，如流体力学的CFD软件，提供更专业的解决方案。用户可以根据具体需求和计算能力来选择合适的软件工具进行有限元分析。