EM算法详解：寻找数据隐变量下的最大似然估计

"寻找等式成立的条件 - 机器学习之EM算法" EM算法是期望最大化（Expectation-Maximization, EM）算法，一种用于处理概率模型中隐含变量的迭代优化技术。该算法的核心目标是在数据中存在不可见变量的情况下，找到参数的最大似然估计，以提高模型的预测性能。以下是EM算法的主要组成部分： 1. **似然函数与极大似然估计**：似然函数L(θ)是表示给定一组观察数据x和参数θ下数据发生的概率。极大似然估计是通过寻找能使似然函数最大化的参数值，即求解arg max θ L(x; θ)。在实际应用中，由于参数θ可能包含未完全观测的隐变量，我们需要估计这些隐变量对似然函数的影响。 2. **Jensen不等式的应用**：在EM算法中，Jensen不等式是一个关键工具。它表明，如果一个函数f是凹函数（意味着(f(x) - f(y)) / (x - y)总是非正的），那么对数似然函数ln(L(θ))在极大似然估计时会遵循一定的不等式关系。这有助于我们在求解过程中理解函数的行为和优化的方向。 3. **数学期望与边际分布列**：在EM算法中，数学期望（E[·]）和边际分布的计算对确定观测数据与隐变量之间的关系至关重要。通过计算这些期望值，可以更好地理解数据的统计特性，并在每次迭代中更新参数估计。 4. **EM算法的迭代过程**：算法以迭代方式推进，分为两个主要步骤：E步（Expectation Step）和M步（Maximization Step）。E步通过计算当前参数下的隐变量的期望分布；M步则基于这些期望分布重新估计参数，使得似然函数增大。这个过程会一直重复，直到收敛到局部最优解。 5. **对数似然函数的极大化**：通过对数转换，极大似然问题被简化为求解对数化似然函数的极小值问题，因为对数函数通常更容易处理。利用梯度上升或其他优化方法，可以找到参数的最优估计值。 EM算法是一种强大的工具，尤其适用于那些数据中包含隐含变量的问题。通过结合数学期望、对数性质和优化技巧，EM算法在机器学习领域中得到了广泛应用，如高斯混合模型、推荐系统等。理解并掌握EM算法的原理和应用，对于深入理解和解决实际问题具有重要意义。