四元数矩阵方程最小二乘解的实表示与求解

本文探讨了四元数矩阵方程AXAH + BYBH = C的最小二乘解问题，针对四元数矩阵方程的独特性质，作者贺学海首先利用四元数的实表示方法，将复杂的四元数矩阵方程转化为易于处理的实数矩阵方程形式。这种转化是关键步骤，因为它使得原本的非交换乘法规则在实数领域内变得更为直观。 通过将问题置于实数矩阵方程的框架下，研究者能够应用矩阵方程的约束解理论来求解这个问题。最小二乘解是一种常见的优化技术，它寻找使误差平方和最小的解，对于解决实际问题如信号处理、控制系统等具有重要意义。文章主要关注两个类型的最小二乘解：自共轭最小二乘解和最小范数最小二乘解。 自共轭最小二乘解是指找到满足方程的同时其共轭也满足的解，这在保证解的稳定性方面有重要作用。另一方面，最小范数最小二乘解则寻求的是在满足方程约束下，解的欧几里得范数（即向量的长度）最小的解，这有助于减少噪声对结果的影响。 作者给出了这两个问题的通解表达式，这些公式可能涉及特定的矩阵运算和逆矩阵计算，以及对四元数特殊性质的巧妙运用。在实数矩阵方程的基础上，这些解法展示了如何将四元数的复杂性转化为可以处理的线性代数问题。 论文的关键词包括四元数、四元数矩阵方程、范数和最小二乘解，这些都是理解和研究该问题的核心概念。整体而言，这篇文章不仅提供了理论分析，还可能包含数值示例和应用实例，以展示如何在实际问题中找到这些最小二乘解。 总结起来，本文是一项深入研究四元数矩阵方程最小二乘解的重要学术贡献，对于那些在工程和科学领域处理四元数问题，特别是需要高效解决这类约束优化问题的专业人士来说，具有很高的参考价值。