对偶支持向量机(Dual SVM)基本原理与解析

"本资源是关于机器学习中的对偶支持向量机(Dual SVM)的详细讲解，主要探讨了如何通过二次规划解决非线性支持向量机问题，并揭示了对偶形式背后的深层意义。" 在机器学习领域，支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种强大的监督学习算法，尤其在分类和回归问题中表现出色。当面临非线性可分数据时，线性SVM可能无法有效地捕捉数据的复杂结构。因此，引入了非线性支持向量机（Non-Linear SVM），它利用核函数（Kernel Trick）将原始数据映射到高维空间，使得在新空间中的数据变得线性可分。 非线性支持向量机的目标是最小化损失函数同时确保每个样本点的间隔至少为1，即： \[ \text{minimize} \quad \frac{1}{2}w^Tw \] \[ \text{subject to} \quad y_n(w^T\phi(z_n) + b) \geq 1, \quad \text{for} \ n = 1,2,\ldots,N \] 其中，\( w \) 是权重向量，\( b \) 是偏置项，\( \phi(z_n) \) 是输入样本 \( x_n \) 经过核函数映射后的向量，\( y_n \) 是对应的类别标签。 然而，这个原问题的优化通常困难，特别是在数据集较大或维度很高的情况下。这时，我们引入对偶支持向量机（Dual SVM），它通过拉格朗日乘子法将原问题转换为更易于求解的形式，即拉格朗日对偶问题。 拉格朗日函数可以表示为： \[ L(w, b, \alpha) = \frac{1}{2}w^Tw - \sum_{n=1}^{N}\alpha_n[y_n(w^T\phi(z_n) + b) - 1] \] 其中，\( \alpha_n \) 是拉格朗日乘子，满足 \( 0 \leq \alpha_n \leq C \)，\( C \) 是惩罚参数。 通过最大化拉格朗日函数，我们可以得到对偶问题的优化形式，即一个二次规划问题（Quadratic Programming,QP）。对偶问题的优势在于，它可以直接处理核函数，无需显式计算高维映射，而且对于大规模数据集，其求解效率更高。 对偶SVM的决策函数可以表示为： \[ g_{SVM}(x) = \text{sign}(\sum_{n=1}^{N}\alpha_n y_n \kappa(x_n, x) + b) \] 这里，\( \kappa(x_n, x) \) 是核函数，\( \alpha_n \) 是支持向量的系数。 通过对偶SVM，我们可以发现一些重要的信息：支持向量决定了模型的决策边界，而其他非支持向量则对模型的影响相对较小。此外，对偶形式也使得引入正则化变得更加直观，有助于防止过拟合。 总结来说，本资料详细介绍了对偶支持向量机的基本原理，包括其动机、拉格朗日对偶问题的推导以及如何通过二次规划求解。通过对偶形式，我们可以更高效地处理非线性数据，并理解支持向量机在寻找最优决策边界时的核心思想。这对于理解和应用SVM，尤其是处理复杂数据集时，具有重要的实践价值。