动态规划：状态转移方程详解与斐波那契数列求解

动态规划是一种在计算机科学中广泛应用的算法策略，它特别适用于解决那些具有重叠子问题和最优子结构的问题。在这个讲义中，朱全民教授详细讲解了如何通过状态转移方程来解决这类问题。状态转移方程是动态规划的核心组成部分，它描述了问题状态之间的关系，以便逐步构建出最终解决方案。 步骤2中的状态转移方程c[i, j]给出了问题的具体形式，即在给定数组a[i]到a[j]之间合并两个连续部分的最小代价。这个方程定义为： \[ c[i, j] = k \mid f[i, j] = f[i, k] + f[x, j - k] + t \] 其中，\( f[i, j] \) 表示将数组分成两部分时的最小代价，\( x \) 是第i堆开始，顺时针数k+1堆的堆序号，\( t \) 是将这两个部分合并的成本（即两堆元素之和）。为了找到最优解，我们需要通过枚举可能的分割点k（1到j-1），取最大值作为当前状态的代价。 初始条件是 \( f(i, 1) = 0 \)，对于所有 \( j = 1 \) 和 \( 1 \leq i \leq n \)。当n为0或1时，基本情况是直接返回0或1，而当n大于1时，需要递归地计算前两个子问题的解。 递归版本和动态规划版本的主要区别在于效率。递归方法会重复计算子问题，时间复杂度较高，为O(2^n)；而动态规划采用迭代方式，通过预先填充一个数组（如斐波纳契数列的例子），避免了重复计算，时间复杂度降低至O(n)。这种方法的精髓在于，它利用已知的子问题解来逐步构建原问题的解，同时保持对子问题的依赖关系，这就是最优子结构性质的体现。 动态规划算法的关键要素包括：明确的状态定义、状态转移方程、子问题的索引存储（通常用数组实现）以及自底向上的填充策略。这种方法不仅在理论上保证了解决问题的效率，而且在实践中也简化了问题的复杂性，使得大规模问题的求解成为可能。 朱全民教授的动态规划讲义围绕状态转移方程展开，深入浅出地介绍了如何运用动态规划方法求解具有最优子结构的问题，强调了算法设计的关键思想和优化技巧，这对于理解和解决实际的优化问题具有很高的实用价值。