动态规划深度解析：状态转移方程与应用

"动态规划是解决优化问题的一种重要算法，主要通过定义状态和状态转移方程来求解问题。此资料详细介绍了多种动态规划的应用场景和相关问题，涵盖了机器分配、01背包、最长非降子序列、石子合并、多边形剖分、系统可靠性、快餐问题、过河问题、多边形讨论、加分二叉树以及选课问题等。每个问题都给出了具体的状态转移方程，有助于深入理解和掌握动态规划的精髓。" 1. **机器分配问题**： 在这个问题中，F[I,j] 表示分配给I台机器时可以处理的最大工作量，状态转移方程为 F[I,j] = max(f[i-1,k]+w[i,j-k])，其中f[i-1,k]表示i-1台机器处理的工作量，w[i,j-k]是第i台机器处理剩余工作量的能力。 2. **01背包问题**： 这个问题中，F[I,j] 表示容量为j的背包能装入的最大价值，状态转移方程为 F[I,j] = max(f[i-1,j-v[i]]+w[i], f[i-1,j])，决策是在第i个物品是否放入背包。 3. **最长非降子序列**： 状态转移方程是 F[i] = max{f[j]+1}，表示找到以i结尾的最长非降子序列的长度。 4. **石子合并**： 剖分问题中，F[i,j] 表示将[i,j]区间内的石子合并的最小操作次数，状态转移方程为 F[i,j] = min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j])，sum[i,j]是[i,j]区间的石子总和。 5. **多边形剖分**： 多边形剖分问题的状态转移方程如 F[I,j] = min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i])，涉及到三个区域的剖分。 6. **乘积最大**： 在这个剖分问题中，目标是最大化乘积，状态转移方程为 f[i,j] = max(f[k,j-1]*mult[k,i])。 7. **系统可靠性**： 考虑到系统可靠性的动态规划，F[i,j] 表示在选择i个组件且总容量为j时的最大可靠性，状态转移方程为 F[i,j] = max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]}，P[I,x]表示第i个组件的可靠性。 8. **快餐问题**： 这是一个贪心的动态规划问题，F[i,j,k] 表示前i条生产线生产j个汉堡，k个薯条所能生产的最多饮料，状态转移方程为 F[i,j,k] = max{f[i-1,j',k'] + (T[i] - (j-j')*p1 - (k-k')*p2) div p3}。 9. **过河问题**： 贪心策略在这里用于简化状态，f[i] 表示到达位置i所需的最小步骤数，状态转移方程为 f[i] = min{{f(i-k)}(notstone[i]), {f(i-k)} + 1}(stone[i])。 10. **多边形-讨论的动态规划**： 在这里，状态转移方程涉及正正、负负、正负和负正四种情况，用F[i,j]表示，与g为min值组合。 11. **加分二叉树**： 树型动态规划问题中，F[I,j] 表示以i为根节点，左子树贡献k，右子树贡献j-k时的最大加分，状态转移方程为 F[I,j] = max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}。 12. **选课问题**： 多叉树转化为二叉树模型，F[I,j] 表示以i为根节点选择j门课程的最大学分，状态转移方程为 f[i,j] = max{f[t[i].l,k]+f[t[i].r,j-k-1]+c[i]}。 13. **计数问题**： 如砝码称重问题，可以使用动态规划计算在有限权重砝码下能称出的所有不同重量的数量。 这些例子展示了动态规划在解决各种问题中的灵活性和有效性，通过理解这些状态转移方程，可以加深对动态规划的理解并应用于实际问题中。