开环零点对根轨迹分布的影响与控制系统性能优化

根轨迹分析法是一种在控制理论中广泛应用的工具，用于分析闭环系统在参数变化下的稳定性以及性能特性。它由W.R. Evans在1948年提出，通过图形化方式直观展示闭环特征根（即闭环极点）随着系统参数的变化在复平面上的轨迹。在本章中，我们将深入探讨以下几个关键概念： 1. **基本概念**：根轨迹是指当系统的一个关键参数，如开环增益K从0变化到无穷大时，闭环系统的特征根在s平面中形成的轨迹。广义根轨迹则适用于系统所有可能变化的参数，而狭义根轨迹通常指的是以开环增益K的变化为基础的分析。 2. **绘制依据和法则**：根轨迹的绘制依赖于开环传递函数，通过特定的法则确定闭环极点的位置，从而预测系统在不同参数值下的行为。例如，增加开环零点可能导致根轨迹曲线在实轴上的分布发生变化，影响渐近线的数量、夹角和交点坐标。 3. **系统性能影响**：开环零点的变化直接影响根轨迹的走向，可能使根轨迹向左弯曲，这有利于提高系统的相对稳定性。在控制系统设计中，通过合理设置零点可以优化系统的瞬态响应和稳态性能。例如，问题1涉及如何通过调整闭环极点的位置来实现期望的性能指标，如降低超调（σ%）和确保合适的衰减率（β）。 4. **应用示例**：通过实际案例，我们可以观察到根轨迹图如何揭示系统的动态特性，如判断系统在不同开环增益下的稳定性（过阻尼、临界阻尼或欠阻尼）、确定极点数量以及分析时间常数（ts）等关键参数。 5. **二阶系统分析**：对于二阶系统，根轨迹法尤其有用，因为它能帮助分析系统在不同参数下的性能，并且特别关注系统的阻尼比（ξ），这决定了系统的响应速度和稳定性。 根轨迹分析法是控制系统设计中的重要工具，通过理解和应用这些概念，工程师能够有效地评估和优化系统性能，确保在各种参数变化下系统的稳定性和响应质量。MATLAB作为常用的工程软件，提供了强大的根轨迹绘制和分析功能，极大地简化了这一过程。