ACM难题挑战：连通图、石子游戏与哈密尔顿路径

"这篇文章主要介绍了ACRush举办的ACM比赛中被认为是最具挑战性的8道题目，这些题目难度极高，现场没有参赛者能够全部解决。文章列举了其中的几道题目及其解题策略，涉及连通图计数、石子合并问题和寻找哈密顿路径等经典算法问题。" 在这篇文章中，首先提到了一个关于连通图计数的问题——ConnectedGraph。这个问题要求计算具有N个不同顶点的连通图的总数，其中N<=50。解决这个问题的方法通常涉及动态规划（Dp）。方法一是定义S[x,y]表示已连通的x个点的团和y个孤立点的连通图方案数，然后通过记忆化搜索来计算F[N]，即S[1,N-1]。然而，这种方法的时间复杂度较高，达到O(N^3*高精)，在实际比赛中可能无法在限制时间内完成。 方法二是通过计算G[N] = 2^(N*(N-1)/2) - F[N]，这里G[N]表示不连通图的数量。通过枚举与第一个点连接的点数，然后对余下的点进行任意组合，可以得到Sum{C(i-1,N-1)*F[i]*2^((N-j)*(N-j-1)/2), i=1…N-1}，这种方法的时间复杂度为O(N^2*高精)，相对于方法一有所优化。 接下来，文章提到了一个经典的石子合并问题——AnoldStoneGame。问题要求找到合并石子堆的最小代价，而单纯贪心策略并不总是有效。方法一是使用圆方贪心策略，将石子堆视为圆和方，每次合并两个和最小且中间没有圆形物品的石子堆，然后合并所有相邻的方形石子堆。实现这一策略可以使用不同的数据结构，如fib堆、二项堆、左偏树或普通堆+启发式合并，它们的时间复杂度分别为O(NLogN)。根据编程复杂度和运行速度，左偏树在实际应用中可能更为高效。 最后，文章提及了一个寻找哈密顿路径的问题——Tony'sTour。这个问题要求找出从左下角到右下角的哈密顿路径数量，类似于HNOI04比赛中的题目。由于搜索方法难以通过，因此建议使用动态规划（DP）来解决。 这些题目和解题策略展示了ACM竞赛中的典型算法挑战，包括动态规划、贪心策略以及高效数据结构的应用，对于提升算法设计和实现能力具有很高的价值。