分数阶扩散方程的加权C-N格式改进与收敛性研究

齐次分数阶扩散方程是近年来研究的热点，这类方程在描述复杂物理现象时展现出独特的优势，如非局部效应和记忆行为。然而，与传统的整数阶微分方程相比，分数阶微分方程的数值求解更具挑战性，特别是当精确解存在不光滑性或初始数据缺乏光滑性时，高阶数值方法的稳定性与精度可能会受到影响。 本文由陈著和黄凤辉两位作者针对这一问题提出了加权Crank-Nicolson格式（简称加权C-N格式），这是一种针对时间分数阶扩散方程的数值方法。传统的Crank-Nicolson方法通常假设时间和空间函数的连续性和光滑性，但在实际应用中，这些假设可能无法满足。加权C-N格式通过引入权系数，允许在不光滑的精确解条件下保持方法的高阶时间精度，即时间阶为2阶。这种改进主要针对的是算法的第一步，通过对特定部分进行修正，减少了因不光滑性导致的误差。 作者们利用Laplace变换和卷积这两种数学工具，对加权C-N格式进行了深入的理论分析。Laplace变换是一种将微分方程转化为代数方程的重要工具，而卷积则有助于处理不规则信号的积分问题。通过这样的数学手段，他们证明了加权C-N格式的收敛性，确保了在实际应用中的有效性。 文中还强调了关键词“时间分数阶扩散方程”、“加权C-N格式”以及“卷积”和“Laplace变换”的核心作用。时间分数阶扩散方程的特殊性使得传统方法失效，而加权C-N格式的提出则是为了克服这些挑战。卷积和Laplace变换的运用不仅提供了理论支持，也使得数值计算更为精确和可靠。 这篇首发论文是一项重要的贡献，它不仅改进了分数阶微分方程数值解的稳定性，而且为处理实际问题中可能遇到的不光滑性提供了新的途径。通过实证测试，加权C-N格式及其修正被证明在保持高阶精度的同时，具有更强的适应性，对于提高分数阶方程数值求解的整体性能具有重要意义。